模块复习课(七) 三角函数（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [训练1]　已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，求sin α的值． 解：因为OP＝，所以cos α＝＝x. 又α是第二象限角， 所以x<0，得x＝－， 所以sin α＝＝. [训练2]　求函数f(x)＝＋的定义域． 解：函数f(x)有意义，则 即 如图所示， 结合三角函数线知 ∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z). 故f(x)的定义域为. (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． [训练3]　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－π，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α. (2)∵α＝－π＝－6×2π＋， ∴f＝cos ·sin ＝cos ·sin ＝cos ·sin ＝×＝. [训练4]　已知sin (30°－α)＝，求＋的值． 解：原式＝＋ ＝＋ ＝ ＝＝3.∴原式＝3. 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质． [训练5]　如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k的一段图象． (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？ 解：(1)由图象知A＝＝， k＝＝－1，T＝2×＝π，∵ω>0， ∴ω＝＝2.∴y＝sin (2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，∵|φ|<，∴φ＝. ∴所求函数解析式为y＝sin －1. (2)把y＝sin x图象向左平移个单位得到y＝sin (x＋)图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的， 得到y＝sin 图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin 图象，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象． [训练6]　已知函数y＝cos x＋|cos x|. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 解：(1)y＝cos x＋|cos x| ＝ 函数图象如图所示． (2)由图象可知函数的最小正周期是2π. (3)由图象可知函数的单调增区间为(k∈Z). 高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视． [训练7]　已知函数f(x)＝2sin ＋a＋1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求f(x)取最大值时x的取值集合． 解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z). (2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－≤sin ≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1， (3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴2x＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z. ∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是 . [训练8]　已知f(x)＝sin ＋，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间； (3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？ 解：(1)T＝＝π. (2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以所求的单调减区间为(k∈Z). (3)把y＝sin 2x的图象上所有点向左平移个单位，再向上平移个单位，即得函数f(x)＝sin ＋的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $