8.2.1 两角和与差的余弦（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

8.2　三角恒等变换 8．2.1　两角和与差的余弦 课程标准 学科素养 1．能利用两角和与差的余弦公式进行化简求值． 2．两角和与差的公式的逆用、变形用． 通过对两角和与差的余弦的学习，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．对任意角α与β，都有cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，这就是两角差的余弦公式，简记为Cα－β. 2．两角和的余弦公式Cα＋β： cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β． 1．cos 17°等于(　　) A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3° B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3° C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3° D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3° B　解析：cos 17°＝cos(20°－3°) ＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°. 2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝(　　) A． B．　　　　 C．　　　　 D．－ A　解析：a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝. (1)化简cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°＝________． (2)已知cos θ＝，θ∈，则cos ＝________． (1)　解析：原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos (80°－35°)＝cos 45°＝. (2)　解析：∵cos θ＝，θ∈， ∴sin θ＝， ∴cos ＝cos θcos ＋sin θsin ＝×＋×＝. (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值． [训练1]　已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos (α＋β). 解：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝－. 因为β∈，tan β＝－， 所以cos β＝－，sin β＝. 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－×－×＝. 已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β 的值． 解：∵α、β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝. ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜， ∴－＜α－β＜0.故α－β＝－. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角 [训练2]　已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值． 解：由cos α＝，0＜α＜， 得sin α＝ ＝＝. 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos (α－β)＝， ∴sin (α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)得 ∴cos β＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝. ∵0＜β＜，∴β＝. 已知sin ＝，且＜α＜，求cos α的值． 解：∵sin ＝，且＜α＜， ∴＜α＋＜π， ∴cos ＝ －＝－. ∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝. [变式]　在本例中，若把α的范围改为：“π＜α＜π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？ 解：∵sin ＝，且＜α＜π. ∴π＜α＋＜2π. ∴cos ＝ ＝＝. ∴cos α＝cos ＝cos ·cos ＋sin ·sin ＝×＋×＝. 1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等． 2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算 [训练3]　已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值． 解：∵α∈，tan α＝4， ∴sin α＝4cos α①， sin2α＋cos2α＝1②， 由①②得sinα＝，cos α＝. ∵α＋β∈(0，π)，cos (α＋β)＝－，∴sin (α＋β)＝. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝