7.3.3 余弦函数的性质与图象（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册（人教版B版2019）

7．3.3　余弦函数的性质与图象 课程标准 学科素养 1.余弦函数图象的简单应用． 2.余弦函数图象的区别与联系． 3.会用余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题． 通过对余弦函数的性质与图象的学习，强化直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．余弦函数：对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，因此y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 2．定义域与值域：余弦函数y＝cos x的定义域是R，值域是[－1，1]，当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，函数值的最大值是1，当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，函数值的最小值是－1. 3．余弦函数y＝cos x是偶函数，其图象关于y轴对称． 4．余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 5．余弦函数y＝cos x在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减． 6．余弦函数y＝cos x的零点为kπ＋(k∈Z)． 1．下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　　　 B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 2x D　解析：由T＝知D中函数的最小正周期为π. 2．已知函数y＝3cos (π－x)，则当x＝________时函数取得最大值． 2kπ＋π，k∈Z　解析：因为函数y＝3cos (π－x)＝－3cos x，所以当cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymax＝3. 1．一般地，函数y＝cos x的图象称为余弦曲线．根据cos x＝sin ，只需把y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 2．余弦函数y＝cos x的图象对称轴为x＝kπ，对称中心为，其中k∈Z. 对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x轴有无数多个交点； ③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个　　 　 D．3个 D　解析：如图所示为y＝cos x的图象． 可知三项描述均正确． (1)f(x)＝sin x·cos x是________．(填“奇”或“偶”)函数 (2)比较cos 0，cos ，cos 30°，cos 1，cos π的大小为________． (1)奇　解析：由题意知，f(x)定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝sin (－x)·cos (－x)＝－sin x·cos x＝－f(x).所以f(x)＝sin x·cos x是奇函数． (2)cos 0>cos >cos 30°>cos 1>cos π　解析：因为0<<<1<π，而y＝cos x在区间[0，π]上是减函数， 所以cos 0>cos >cos 30°>cos 1>cos π. 1．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 2．借助余弦函数的单调性可以比较两个三角函数值的大小，关键是将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值．对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内 [训练1]　设函数f(x)＝cos ，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 A　解析：因为f(x)＝cos ＝cos ＝sin 2x， 所以该函数的最小正周期为π，且为奇函数． 用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点连线，如图． 五点法作余弦函数的图象需要的五个点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，先列表，再描点，连线，即可得到余弦函数的图象 [训练2]　作函数y＝2＋cos x，x∈[0，2π]的图象． 解：列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x 3 2 1 2 3 描点连线，如图 已知函数y1＝a－b cos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4a sin 3bx的最大值． 解：∵函数y1的最大值是，最小值是－. 当b>0时，由题意得，∴. 当b<0时，由题意得，∴. 因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x，函数的最大值均为2. 1．对于求形如y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围． 2．求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据