7.3.3 余弦函数的性质与图像-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

7.3.3　余弦函数的性质与图像 学 习 目 标 核 心 素 养 1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．(难点) 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点) 1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养. 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． 问题　(1)函数y＝cos x的图像也象过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ (2)过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 提示　(1)单调性． (2)最值；波峰，波谷． 1．余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 2．余弦函数的性质 定义域、 值域 定义域为R，值域为[－1,1] 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 单调增区间 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 单调减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 ＋kπ，k∈Z 思考：(1)余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？ (2)余弦型函数y＝Acos (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　(1)余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴． (2)T＝. 3．余弦函数的图像 (1)图像． (2)对称性：对称轴x＝kπ，对称中心，k∈Z. (3)五点：(0,1)，，(2π，1)． ，(π，－1)， 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)余弦函数在区间上是单调递增的． (　　) (2)方程2cos x＋3＝0一定有解． (　　) (3)函数y＝cos. (　　) 的一条对称轴为 [提示]　(1)×.余弦函数在不具有单调性． (2)×.方程变为cos x＝－＜－1，故无解． (3)×.因为余弦函数的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，函数y＝cos(k∈Z)对称．，关于x＝kπ＋个单位得到，因此y＝cos可视为余弦函数向右平移 [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π ，，，2π　 B．0，，π， C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， B　[令2x＝0，，π，故选B．]，，和2π，得x＝0，，π， 3．使cos x＝1－m有意义的m的值为(　　) A．m≥0 B．0≤m≤2 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 B　[因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1， 解得0≤m≤2.故选B．] 4．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°； (2)cos. ________cos (1)>　(2)<　[(1)因为y＝cos x在[0°，180°]上为减函数， 并且0°<15°<35°<180°， 所以cos 15°>cos 35°. (2)因为cos，＝cos ，cos＝cos 并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数， 又因为0<<π，< 所以cos .]<cos，即cos>cos 余弦函数图像的画法 【例1】　用“五点法”作出函数y＝cos 2x的简图． [思路探究]　列表，描出五个关键点，用光滑曲线连接即可． [解]　列表如下： x 0 π 2x 0 π 2π cos 2x 0 － 0 描点绘图，如图所示． “五点法”作图的应用技巧 在画函数y＝Acos (ωx＋φ(的图像时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，2π.，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π， 1．用“五点法”作出函数y＝cos的简图． ，x∈ [解]　列表如下： x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图(如图)． ] 余弦函数的单调性及其应用 【例2】　(1)函数f(x)＝5cos的一个单调递减区间是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)设a＝cos ，则(　　) ，c＝cos ，b＝sin A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b