2.1.1 两角和与差的余弦公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

2．1　两角和与差的三角函数 2．1.1　两角和与差的余弦公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程． 2.熟练利用两角和与差的余弦公式进行三角函数求值、化简和证明 1.借助用向量法推导两角和与差的余弦公式，培养学生数学建模的核心素养． 2.通过用两角和与差的余弦公式进行化简、求值，提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养 　 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 Cα＋β cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ α，β∈R 两角差的余弦 Cα－β cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ α，β∈R 记忆口决：“余余正正，符号相反”． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　) (2)任意角α，β，cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) (3)不存在角α，β，使得cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．cos 20°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° B　[cos 20°＝cos (30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.] 3．已知cos α＝，α∈，则cos 等于(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．－ D． C　[由cos α＝，α∈， 可得sin α＝－， ∴cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＝×＝－.] 4．cos (－42°)cos 18°＋sin 42°sin (－18°)＝________． 　[原式＝cos 42°cos (－18°)＋sin 42°sin (－18°)＝cos [42°－(－18°)]＝cos 60°＝.] 计算：(1)cos (－15°)； (2)cos 35°cos 100°－sin 35°sin 100°. 解　(1)方法一　原式＝cos (30°－45°) ＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝×＋×＝. 方法二　原式＝cos 15°＝cos (45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2)原式＝cos (35°＋100°)＝cos 135°＝－. [方法总结]　利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． [训练1]　化简：＝________． 　[原式＝ ＝ ＝＝＝.] [知能解读]　常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β). (1) 已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈，求cos 的值． 解　∵<α<π，0<β<，∴<<，0<<，<α＋β<. ∴<α－<π，－<－β<，<<. 又cos ＝－，sin ＝， ∴sin ＝，cos ＝. ∴cos ＝cos ＝ cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝－＋＝. (2)已知0<α<β<，且sin α＝，cos (α－β)＝，求cos β的值． 解　因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝＝. 由0<α<β<得，－<α－β<0， 因为cos(α－β)＝， 所以sin (α－β)＝－＝－， 所以cosβ＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝. [变式]　将本例(2)的条件不变试求cos (2α－β)的值． 解　因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝＝. 由0<α<β<得－<α－β<0， 因为cos(α－β)＝， 所以sin (α－β)＝－＝－， 所以cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)] ＝cos αcos (α－β) －sin αsin (α－β) ＝×－×＝. [方法总结]　给值求值问题的解题策略 从角的关系中找解题思路，已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 [训练2]　已知α，β∈，sin (α＋β)＝－，sin ＝，求cos 的值． 解　因为α，β∈，所以α＋β∈. 又因为