2.1.3 两角和与差的正切公式（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.1.3　两角和与差的正切公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明． 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用 1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生数学建模和逻辑推理的核心素养． 2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养 1．两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan (α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 tan (α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)． tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝－1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) (2)对于任意角α，β，总有tan (α＋β)＝ .(　　) (3)使公式tan (α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[tan (α＋β)＝＝＝－.] 3．已知α∈，sin α＝，则tan ＝(　　) A． B．7 C．－ D．－7 A　[由于sin α＝，且α∈， 则cos α＝－，∴tan α＝－. ∴tan ＝＝＝.] 4.＝________． 　[原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.] [知能解读]　探究公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan ；＝tan . (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β ”及“tan αtan β ”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式． 求值：(1)tan 15°；(2). 解　(1)tan 15°＝tan (45°－30°)＝＝＝＝＝2－. (2)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1. [方法总结]　解决给角求值问题的策略 分析式子结构，正确选用公式形式，应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． [训练1]　(1)求值； (2)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解　(1)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－. (2)方法一　tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37° ＝tan (23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝. 方法二　∵tan (23°＋37°)＝， ∴＝， ∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 已知cos α＝，α∈(0，π)，tan (α－β)＝，求tan β及tan (2α－β). 解　∵cos α＝>0，α∈(0，π)， ∴sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝. ∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝， tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝2. [方法总结]　给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子之间的联系，实现求值． (2)角的变换：首先从已知角与待求角之间的关系入手，分析已知角和待求角之间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求角的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值． [训练2]　(1)已知＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________． (2)已知sin (π＋θ)