2.1.2 两角和与差的正弦公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“两角和与差的正弦公式”核心知识点，以两角和与差的余弦公式为基础推导正弦公式，梳理公式结构、逻辑关系及使用条件，构建从余弦到正弦公式的学习支架。 该资料通过“推导-辨析-应用”三阶设计，设置给角求值、给值求值等探究点及对点练，培养逻辑推理与数学运算核心素养。课中辅助教师引导学生掌握公式正逆用，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用能力。

2.1.2　两角和与差的正弦公式 学习目标 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系，提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等，提升数学运算核心素养. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养的学业质量水平要求. 知识点　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R [点拨]　(1)理顺公式间的逻辑关系 C(α－β)C(α＋β)S(α－β)S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律 对于公式S(α＋β)，S(α－β)可记为“异名相乘，符号同”. 符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“位置”要特别注意. (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则 sin(A＋B)＝sin C，sin(A＋C)＝sin B，sin(B＋C)＝sin A； sin()＝cos，sin()＝cos，sin()＝cos. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　) (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立.(　　) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2.sin 105°的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝. 3.已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin (α－β)等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：A 解析：因为α是第二象限角且sin α＝， 所以cos α＝－ ＝－. 又因为β是第四象限角，且cos β＝， 所以sin β＝－＝－. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. 4.已知sin α＝，α∈，则sin＝　　　　　　　. 答案： 解析：因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， 所以sin＝sin αcos －sin cos α ＝×－×＝. 学生用书⬇第51页 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°； (2). 解：(1)原式＝sin(29°＋90°)·sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1° sin 29° ＝－(cos 29°sin 1°＋cos 1°sin 29°) ＝－sin(1°＋29°)＝－sin 30° ＝－. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 解决给角求值问题的策略 1.对于非特殊角的三角函数式的求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形. 2.一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分.解题时要注意逆用或变用公式. 对点练1.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：因为cos 200°＝cos(180°＋20°) ＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， 所以原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. 对点练2.化简求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]. 解：原式 ＝·sin 80° ＝·cos 10° ＝2(sin 50°cos 10°＋sin 10°sin 40°) ＝2(sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°) ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝. 探究点二　给值求值问题 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求sin的值； (2)求sin β的值. 解：(1)因为α为锐角，sin α＝， 所以cos α＝＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝. (2)因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝，得 sin(α＋β)＝＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 解决给值求值问题的解题策略 1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. [提醒]　解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值. 学生用书⬇第52页 对点练3.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，｜a－b｜＝. (1)求cos(α－β)的值. (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝，求sin α的值. 解：(1)因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， 所以｜a－b｜2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝. (2)因为0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝， 所以sin β＝－，且0＜α－β＜π. 又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝， 所以sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×(－)＝. 探究点三　给值求角问题 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α. 解：因为α∈，β∈， 所以α－β∈(0，π). 因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝. 因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝. 所以sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝×＋×＝. 又因为α∈，所以α＝. 给值求角问题的解题策略 1.解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角. 2.选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等. 对点练4.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝　　　　. 答案： 解析：由条件知cos α＝，cos (α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.又β为锐角，所以β＝. 1.(多选)下面各式中，正确的是(　　) A.sin＝sin cos ＋cos B.cos ＝sin －cos cos C.cos ＝cos cos ＋ D.cos ＝cos －cos 答案：ABC 解析：因为sin ＝，所以A正确； 因为cos ＝－cos ＝－cos ， 所以B正确； 因为cos ＝cos，所以C正确； 因为cos ＝cos≠cos －cos ， 所以D不正确.故选ABC. 2.sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°＝(　　) A. B. C. D.－ 答案：B 解析：由诱导公式得sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25° ＝sin 70°·cos 25°－cos 70°·sin 25° ＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝，故选B. 3.设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设α为锐角，若cos(α＋)＝， 0＜α＜，＜α＋＜，sin＝， 则sin α＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝.故选B. 4.已知tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜. (1)求sin α和cos α； (2)求β的值. 解：(1)因为tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜， 所以cos2α＝＝＝， 因为cos α＞0，所以cos α＝， 所以sin α＝＝. (2)因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜， 所以cos(α－β)＝ ＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－sin(α－β)cos α， ＝×－×＝， 故β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $