1.5.1 数量积的定义及计算（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．5　向量的数量积 1．5.1　数量积的定义及计算 课程内容标准 学科素养凝练 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系 通过学习向量数量积的定义，提升数学抽象及数学运算素养 (1)数量积：设 a，b是任意两个向量，作＝a，＝b，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉为a与b的数量积． (2)由平面向量夹角的定义可知〈a，b〉＝α的取值范围为[0，π]. (3)a·b＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos α＝0；(非零向量a，b)a·b＝0⇔a⊥b. (4)对于非零向量a，b，当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|. 两个向量的数量积是一个实数，这个实数可以是正数、负数、或零，非零向量a与b的数量积是正数还是负数完全由cos α决定． (1)投影向量：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线．我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长． (2)a·b的几何意义：一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． 由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影|b|cos α的公式：|b|cos α＝. (1)交换律：a·b＝b·a. (2)与数乘的结合律：a·(λb)＝λ(a·b) (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数．(　　) (2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (3)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(　　) (4)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则a·b＝(　　) A．－6 B．6 C．－6 D．6 A　[a·b＝3×4×cos 120°＝3×4×＝－6.] 3．已知在△ABC中，·＜0，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 A　[∵·＝||||cos B＜0，∴cos B＜0. 又∵B为△ABC的内角．∴＜B＜π. ∴△ABC为钝角三角形．] 4．在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． －16　[·＝(＋)·(＋) ＝·＝AM2－BC2 ＝9－×100＝－16.] 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. [方法总结]　求平面向量数量积的两种方法 1．定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解． 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 2．几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，则可利用数量积的几何意义求a·b. [训练1]　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与 b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解　设a与b的夹角为θ. (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20. 若a与b反向，则θ＝180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10. 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 解　a·b＝|a||b|cos ＝5×5×＝. ∴|a＋b|＝＝ ＝ ＝5， |a－b|＝＝ ＝ ＝5. [变式]　若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|. 解　a·b＝|a||b|cos ＝5×5×＝. ∴|2a＋b|＝＝ ＝ ＝5. |a－2b|＝＝ ＝ ＝5. [方