1.5.1数量积的定义及计算（二）教学设计-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

最新湘教版必修第二册教学设计 1.5.1数量积的定义及计算（二） 一、课程标准 通过几何直观，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律. 二、教学目标 （1）通过几何直观，了解投影向量及其几何意义，进而了解向量投影的概念. （2）通过类比向量线性运算的运算性质和数的乘法运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明. （3）会利用数量积的运算性质和运算律计算平面向量的数量积. 三、教学重点 通过几何直观，了解投影向量的几何意义及向量投影的概念，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律. 四、教学难点 投影向量表达式的推导，数量积满足的运算律中“分配律”的证明，运用数量积的性质和运算律进行相关的运算和判断. 五、学情与内容分析 本节课是高中数学第二册《第一章平面向量》的第三节向量的数乘第二课时，本课时要求学生理解并掌握共线向量的运算含义和数乘运算律，要求学生理解并掌握量向量共线的性质和判定方法，从而熟练地运用这些知识处理有关的向量共线问题. 六、教学过程 (一)复习巩固 （1）公式 ；（2）的取值范围是 ； （3）如图，在中， ；故 . （4） ； ； . (二)新知学习 问题：什么是投影向量？投影向量是向量吗？什么是投影长？什么是向量投影？向量投影与投影向量一样吗？ 为了更好地理解数量积的几何意义，引入“投影”的概念。 投影的概念：如图所示，作向量，两个向量的夹角为，过点B作于点则，其中，共线。 把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度，称为投影长。 设是方向上的单位向量，则，,填写下表。 方向 同向 反向 因此，所有情况下， 几何意义：刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影。 由于共线，于是 一般地，与的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积。 由此，得到利用数量积计算在方向上的投影的公式： 例1. 已知，，， （1）求向量在向量方向上的投影. （2）求向量在向量方向上的投影. 问题：数的乘法，满足交换律、结合律和分配律，那向量的数量积是否也满足上面的运算律？ 试试：设，，是任意向量，是任意实数，则如下运算律成立： （1）交换律：. 你能证明吗？ （2）与数乘的结合律：. 你能证明吗？ 提示：当时，；当时，，想想为什么. （3）分配律：.你能证明吗？ 思考：对于任意实数，，，有，对于任意向量是否也有成立？你能说明理由吗？ 已知实数，，，则，对于向量是否也有成立？你能说明理由吗？ 例2．已知：如图所示，四边形是菱形.求证：. 思考：成立吗？如果，得到什么等式？作出向量，你得到的等式代表的几何意义是什么？ 例3．已知，，与的夹角为，求. (四)练习巩固 课本35页练习3,4. (五)板书设计 一、向量的数乘和共线向量定义复习 二、向量数乘运算律 三、向量共线定理的应用 希沃课件投影区域 例1 例2 七、评价设计 八、作业设计 与导学案同步. 九、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $