1.1 向量（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．1　向　量 课程内容标准 学科素养凝练 通过物理学中的位移等实例，了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示及零向量的概念 通过学习向量的有关概念及其表示，提升数学抽象及逻辑推理素养 1．有向线段 具有方向的线段称为有向线段，有向线段的长度记作||. 2．向量的基本概念 定义 既有大小又有方向的量称为向量． 表示法 (1)字母表示：用黑体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示. 如向量 a，b，F，，，. (2)几何表示：每个向量a都可以用有向线段来表示，的方向和长度分别代表了向量a的方向和大小． 模 向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|. 1．把方向相同、长度相等的向量称为相等向量． 2．把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b＝－a. 3．如果向量a的大小|a|＝0，就称a是零向量，记作0. 约定：所有的零向量相等． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)向量的两个要素是大小与方向．(　　) (2)长度相等的向量是相等向量．(　　) (3)向量的模是一个正实数．(　　) (4)向量与向量是相等向量．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中，可以看作向量的有(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 3．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是相反向量 D．两个有共同起点且相等的向量终点也必相同 ABD　[显然，选项A、B、D正确，相反向量长度必须相等，C不正确．] 4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有________． 答案　， 给出下列命题： ①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③在菱形ABCD中，一定有＝； ④若a＝b，b＝c，则a＝c. 其中所有正确命题的序号为________． ③④　[两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确；由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系，故②错误；③④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.] [方法总结]　对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．两个向量相等必须模相等且方向相同，相反向量必须模相等且方向相反． [训练1]　判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； (2)由于0方向不确定，故0不能与任意向量同向； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量． 解　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． (2)不正确．依据规定：0与任一向量都可以同向． (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的． [知能解读] 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可． 2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆． 已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向． 解　以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系． 据题设，点B在第一象限，点C在x轴正半轴上，点D在第四象限，向量，，，如图所示． 由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km， 所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°. 故向量的模为1 000 km，方向为东南方向. [方法总结]　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． [训练2]　在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a； (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么． 解　(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如