1.3 向量的数乘（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.3　向量的数乘 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义． 2.了解向量数乘与向量共线的关系，理解两个向量共线的含义． 3.掌握向量数乘的运算律 1.通过学习向量的数乘运算，提升数学抽象及数学运算素养． 2.通过研究向量的数乘与向量共线的关系，培养数学抽象及逻辑推理素养 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|. 当λ≠0且 a≠0时， λa的方向 当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ00. 求向量实数倍的运算称为向量的数乘． 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算． 1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行．并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b. 2．零向量与所有的向量平行． 3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍． 即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb，其中一个向量不为零向量. 1．把长度为1的向量称为单位向量，它的长度等于单位长度． 2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝. 3．一般地，在一条直线上任取单位向量e，则直线上任何向量a都可写成a＝ae，其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模，a的正负代表a与e的方向相同或相反．反过来，任意给定一个实数a，我们总能作一个向量a＝ae，使它的长度等于这个实数a的绝对值，方向与实数a的符号一致． 一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若λa＝0，则λ＝0.(　　) (2)0＝0.(　　) (3)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa.(　　) (4)向量a，b共线，一定有b＝λa(λ∈R).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列运算中正确的有(　　 ) ①(－3)2a＝－6a； ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C　[根据向量数乘运算和加、减运算规律知①②正确；③中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，故该运算错误．故运算正确的个数为2.] 3．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　 ) A．不共线 B．共线 C．相等 D．无法确定 B　[因为a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a＋b＝3e1－e2＝c， 因此a＋b与c的关系是共线．] 4．化简：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． 0　[原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.] [知能解读]　对向量数乘的三点说明 1．λa中实数λ叫作向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义：把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 已知a，b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解　(1)真命题．理由：2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．理由：－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，－a与a反方向，故－2a与3a反方向． 又|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的. (3)真命题．理由：－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量． (4)假命题．理由：－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，故－(b－a)与a－b是相等的． [方法总结]　实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关． [训练1]　(多选题)已知λ，μ∈R，则在下列各命题中正确的命题是(　　) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ