模块复习课(一) 平面向量及其应用（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

　向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②用字符表示的线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. ③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用． ④注意常见结论的应用．如△ABC中，若点D是BC的中点，则＋＝2. [训练1]　设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝－ D．＝－＋ D　[∵＝3，∴－＝3(－). ∴2＝3－.∴＝－.] [训练2]　如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 　[设＝λ， 则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋， ＝＋＝－＋. ∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.] 　向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉； (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，应灵活选择相应公式． [训练3]　设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝. (1)求a，b夹角的大小； (2)求|3a＋2b|的值． 解　(1)∵|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝， ∴|3a－2b|2＝(3a－2b)2＝9a2－12a·b＋4b2＝7， 即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝7，可得13－12a·b＝7，解得a·b＝. 设a，b夹角等于α，则cos α＝＝， ∵α∈[0，π]，∴α＝，即a，b夹角的大小为. (2)∵|a|＝|b|＝1，a·b＝. |3a＋2b|2＝9a2＋12a·b＋4b2＝9＋12×＋4＝19， ∴|3a＋2b|＝. [训练4]　在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围为________． 　[以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)， 则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)， 所以直线AB的方程为x＋y－2＝0. 设M(t，2－t)，则N(t＋1，1－t)(0≤t≤1)， 所以·＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝2＋. 因为0≤t≤1，所以·的取值范围为.] 1．证明共线问题常用的方法 (1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0. (3)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). [训练5]　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 　[由⊥，知·＝0. 故·＝(λ＋)·(－) ＝(λ－1)·－λ2＋2 ＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0. 解得λ＝.] [训练6]　在平面直角坐标系xOy中，＝(2，1)，＝(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[＝－＝(1，k－1)，若⊥，则·＝6＋k＝0，解得k＝－6；若⊥，则·＝2＋k－1＝0，解得k＝－1；若⊥，则·＝3＋k2－k＝0，此方程无解．故k的可能值为－6或－1，共2个．] 1．利用数量积求解长度的方法 (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 2．求两个非零向量的夹角时要注意 (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0，说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0，说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0，说明不共线的两个向量的夹角是钝角． [训练7]　已知a，b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则＝_____． 1　[设＝a，＝b(O为坐标原点)，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b.由于a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，所以∠AOC＝，∠ACO＝.在△AOC中，|a|＝|b|，故＝1.] [训练8]　已知△ABC是正三角形，若－