第1章 平面向量及其应用（高效培优单元测试·提升卷）高一数学湘教版必修第二册

高一下学期 第1章 平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(　　)． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 2.(24-25高一下·山东青岛·期末)在中，，为的中点，设，，则(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高一下·甘肃天水·月考)已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是(   ) A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 4.(2025高一上·浙江温州·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 5.(24-25高一下·甘肃·期末)已知向量，则在上的投影长为(    ) A． B．1 C． D．2 6.(25-26高一上·海南·开学考试)如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为(　　) A． B．2 C． D． 7.(25-26高三上·江苏徐州·期中)在中，，则(    ) A． B． C．或 D．7 8.(22-23高一下·江苏常州·开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·江苏南通·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是(    ). A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 10.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是(　　) A．为平面内一定点，如，则三点共线且 B．非零向量满足，则与的夹角为锐角 C．已知是与平行的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)设向量，若，则 . 13.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)所对的三边为，则的最小值 ． 14.(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)已知的内角所对的边长分别为. (1)求(2)当，求的面积 16.(15分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长；(2)若平分，且，求的面积. 17．(15分)(23-24高一下·福建厦门·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求；(2)若是边上的三等分点，，，求的面积 18．(17分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．(3)若的垂心为M(M在的内部)，直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB． 19．(17分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 高一下学期第1章平面向量 (高效培优单元测试提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 尝 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 123 1 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 123456789 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 56789 6789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][BJ[C][D] 艾棉 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B1[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) D B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第1章 平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名_________ 班级_______ 考号_______________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(　　)． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 2.(24-25高一下·山东青岛·期末)在中，，为的中点，设，，则(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高一下·甘肃天水·月考)已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是(   ) A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 4.(2025高一上·浙江温州·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 5.(24-25高一下·甘肃·期末)已知向量，则在上的投影长为(    ) A． B．1 C． D．2 6.(25-26高一上·海南·开学考试)如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为(　　) A． B．2 C． D． 7.(25-26高三上·江苏徐州·期中)在中，，则(    ) A． B． C．或 D．7 8.(22-23高一下·江苏常州·开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·江苏南通·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是(    ). A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 10.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是(　　) A．为平面内一定点，如，则三点共线且 B．非零向量满足，则与的夹角为锐角 C．已知是与平行的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)设向量，若，则 . 13.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)所对的三边为，则的最小值 ． 14.(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)已知的内角所对的边长分别为. (1)求(2)当，求的面积 16.(15分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长；(2)若平分，且，求的面积. 17．(15分)(23-24高一下·福建厦门·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求；(2)若是边上的三等分点，，，求的面积 18．(17分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．(3)若的垂心为M(M在的内部)，直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB． 19．(17分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期 第1章 平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(　　)． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 2.(24-25高一下·山东青岛·期末)在中，，为的中点，设，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平行四边形法则结合已知条件表示出向量即可. 【详解】由题如图所示：因为为的中点，，， 所以， 故选：B. 3.(24-25高一下·甘肃天水·月考)已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是(   ) A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A【难度】0.85【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，故D错误. 故选：A. 4.(2025高一上·浙江温州·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解. 【详解】设，因为四边形是正方形，所以， 所以， 因为，所以，又因为， 所以， 所以，即得，解得或， 因为，所以不合题意舍去， 所以，所以点. 故选：A. 5.(24-25高一下·甘肃·期末)已知向量，则在上的投影长为(    ) A． B．1 C． D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】求出在在上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可． 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以，所以在上的投影长为. 故选：C. 6.(25-26高一上·海南·开学考试)如图，以矩形的顶点为圆心，以长为半径作弧，交于点，交于点，且，若，则的长为(　　)    A． B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】方法一，以点为坐标原点建系，设，根据，点在圆上，利用向量列出关于的方程求解即可；方法二，过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，，根据列出关于的方程求解即可. 【详解】方法一：以点为坐标原点，分别以、方向为轴正方向、轴正方向，建立平面直角坐标系， 设，则， 圆的方程，则，故， 设，则，则， 因，则①， 因，则， 则，将其代入①式得， 即，得(舍，此时)或，则；    方法二： 因，则在中， 则， 因，，则， 则，有， 过点作，垂足为交于点；过点作，垂足为，    易证四边形是矩形，则有，则有， 设，于是有，， ，，， 在矩形中，有， 则，即，解得，即． 故选：C 7.(25-26高三上·江苏徐州·期中)在中，，则(    ) A． B． C．或 D．7 【答案】B【难度】0.4【知识点】三角恒等变形、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由题意可推出，结合和，求出，继而求得，即可求出，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】在中，，故，即得， 结合，得，则，即， 则，即得，则C为锐角， 由，结合，解得， 则，， 故， 由，得， 故选：B 8.(22-23高一下·江苏常州·开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.15【知识点】利用坐标求向量的模、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点到，，三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解. 【详解】，，和是平面内两个互相垂直的向量， 不妨设，，， 则，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， 表示点到，，三点的距离之和， 由费马点的性质可知，当时，点到三角形三个顶点的距离之和最小， 点，关于轴对称，点在轴上，如图， 在中，，又， ，解得，故点的坐标为， ，，， 此时，， 的最小值是. 故选：A. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一下·江苏南通·期中)已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是(    ). A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时，，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 10.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】设的外接圆半径为，根据余弦定理求解判断AB； 根据投影向量与数量积的关系判断C；结合，建立的方程求解判断D. 【详解】对于A，由余弦定理得，又，故，A选项错误； 对于B，设的外接圆半径为，由于点为的外接圆圆心， 故， ，， 所以，B选项正确； 对于C选项，由于，由向量数量积的几何意义得： 在上的投影向量为， ， 同理， 故，故C选项正确； 对于D，因为， 由于，即， 由于，即 所以，解得，.所以，故D 选项错误； 故选：BC 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是(　　) A．为平面内一定点，如，则三点共线且 B．非零向量满足，则与的夹角为锐角 C．已知是与平行的单位向量，则 D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心 【答案】AD【难度】0.4【知识点】三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用、由向量共线(平行)求参数、向量夹角的计算 【分析】根据 且 与 有公共点 可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况可判断B;求出与 平行的单位向量 判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，可判断点 的轨迹是否过 的内心. 【详解】选项 A ：已知 ，则 , ，则 ，即 ； 因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 选项正确； 选项 B ：根据向量的数量积公式 ，当 时，即 ， 因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ， 当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 选项错误； 选项 C ：已知 ，根据向量模长公式 ， 可得 ；与 平行的单位向量 ， 即 ，所以 或 ，故 C 选项错误； 选项 D ：因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量， 以 和 为邻边的平行四边形是菱形，所以 平分 ， 已知 ，则 与 的角平分线共线， 又因为 为公共点，所以点 的轨迹必过 的内心，故 D 选项正确. 故选：AD 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(25-26高一上·辽宁辽阳·期末)设向量，若，则 . 【答案】【难度】0.85【知识点】由向量共线(平行)求参数 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，解得. 故答案为：. 13.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)所对的三边为，则的最小值 ． 【答案】/【难度】0.4【知识点】正弦定理、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】，，故， 由正弦定理得，，故， 由余弦定理得，又， ，故，， ，，，(，)， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 14.(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，则， 设，则， 故，， 所以， 当时，取得最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)已知的内角所对的边长分别为. (1)求(2)当，求的面积 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】(1)根据同角三角函数的关系直接计算即可； (2)根据，可得，再求，进而由即可求解． 【详解】(1)， 则， ………………………………………………………………………………3分 ； …………………………………………………………………………………………6分 (2)，解得， ………………………………………………8分 又，， …………………………………………………………10分 ． ………………………………………………………………13分 16.(15分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长；(2)若平分，且，求的面积. 【答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)根据向量的模长公式即可求解，(2)利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】(1)在中，，因为为的中点，所以，两边平方得： ， …………………………4分 解得，所以. …………………………………………………………………………7分 (2)因为平分，所以， ……………………………………………………8分 又， 即， ……………………………………10分 即，可得， ……………………………………13分 所以. ………………………………………………………………15分 17．(15分)(23-24高一下·福建厦门·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求；(2)若是边上的三等分点，，，求的面积 【答案】(1)；(2)或．【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可. (2)在中利用余弦定理求出的长，结合是边上的三等分点分情况进行计算即可. 【详解】(1) ， . 在中，， ， ， …………………………3分 ，又(三角形内角)， ， 又， . ……………………………………………………………………………………7分 (2)如图，在中，，，， 由余弦定理得，即， 化简得，解得或(舍去). …………………………………………10分 是边上的三等分点， 或. ……………………………………12分 当时， ； 当时，. 故的面积为或. ………………………………………………………………………………15分 18．(17分)(24-25高一下·贵州遵义·月考)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求；(2)若，求BC边上的高的最大值．(3)若的垂心为M(M在的内部)，直线BM与AC交于点D，且，当最大时，求AB． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】(1)根据正弦定理得，再由余弦定理求； (2)由(1)中的结论可求得，运用基本不等式可得，即可求面积的最大值,据此求出高的最大值； (3)根据为的垂心求得，利用正弦定理求得，， 结合辅助角公式可求其取最大值时的值. 【详解】(1)， 由正弦定理得，即． ……………………………………2分 由余弦定理得． ……………………………………………………………………4分 (2)由，得．由(1)可得，得， 当且仅当时，等号成立， ……………………………………………………………………6分 所以． 故面积的最大值为10, …………………………………………………………………………8分 设BC边上的高为，又， 所以，即时，BC边上的高有最大值. ……………………………………10分 (3)如图，设．在中，． 在中，由，得． 在中，， 由正弦定理得， 得， …………………………………………………………12分 所以， 其中，； ……………………………………………………………………15分 当时，取得最大值，此时， 得． ………………………………………………………………………………17分 19．(17分)(23-24高一下·贵州遵义·月考)如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 【答案】(1)；(2)【难度】0.15 【知识点】几何图形中的计算、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】(1)设，运用勾股定理表示出，再根据在中的表示，与在中的余弦定理表示，建立方程，即可得解； (2)设，，，则，根据为钝角，得到，再运用在与中的两种余弦定理表达建立方程，可得，又因为三角形的两边之和大于第三边，故有，综合以上条件，解关于的不等式即可. 【详解】(1)取中点，连接，，. 设，则， 因为，故. 因为，故， 则. 在中，由余弦定理可知，，…………………7分 因此有，解得， 故. …………………………………………………………………………………………7分 (2)设，则，设， 设，则，. 由，得，得 因为钝角，故， 可得. 由余弦定理可知，在中，， 在中，， 因此有， ……………………………………………………………………………10分 整理得，得，， 故，解得，即. ………………………………………12分 同时，在中，有两边之和大于第三边： 故有：，即， …………………………………………………………………14分 因为，故恒成立； ，即，因为，故恒成立； ，即，即，，两边平方后，整理得. 综上所述，. ……………………………………………………………………………17分 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第1章平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名」 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(23-24高一下.陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是()· A.零向量没有方向 B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.向量AB与BA的长度相等 2.(24-25高-下.山东青岛期末)在△ABC中，AD-AB,E为CD的中点，设AB=d,AC=万，则AE=() A.五+拓 B.a+五 c.五+五 D.a+3 3.(24-25高一下甘肃天水·月考)已知非共线向量a、,AB=d+2b,BC=3a-b,cD=-5a-36,则下 列说法正确的是() A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 4.(2025高一上·浙江温州.专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC0是正方形，已知点C的坐标为 (3,1),则点B的坐标为) A.（(V5-1,3+1)B.(V3-1,1)C.(1,V3+1) D.(3-1,2) 第1页共4页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25高一下甘肃期末)已知向量a=(3,1),b=(1,0),则a在五上的投影长为) B.1 C.3 D.2 6.(25-26高一上海南·开学考试)如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F,交BG 于点E,且EF1FG,若DF=2,DG=1,则AB的长为() A.V10 B.2V5 c. 0. 7.(25-26高三上江苏徐州·期中)在△ABC中，AB=2,AC=6,∠B-∠C=60°，则BC=() A.2V7 B.16v6 D.7 7 c.2V7减29 8.(22-23高一下·江苏常州·开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的 有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小现已证明：在△ABC中， 若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120时，点P到三角形三个顶点的距离之 和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，己知为平面内任意一个向量，b和C是平面内两个互相垂直 的向量，且=2，心=3，则a-+反++a-的最小值是() A.3+2W3 B.3-2V3 C.2V3+2 D.2V3-2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(24-25高一下·江苏南通·期中)已知向量石为非零向量，λ是非零实数，则下列说法错误的是(). A.a与-a方向相反 B.d与2a方向相同 c.-d≥ D.12=l2a 10.(23-24高一下·黑龙江鸡西期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2V7,b=4,c=6, 点O为△ABC的外接圆圆心，且满足AO=AB+uAC,则下列结论正确的是() A.A=君 B.COs40AB 3 COSLOAC2 C.CB.A0=10 D.=号 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是(） A.O为平面内一定点，如OA=30B-2OC,则A、B、C三点共线且AB=2BC B.非零向量a,b满足a·b>0,则与b的夹角为锐角 第2页共4页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.已知a=(-6,8),是与评行的单位向量，则6=(-，) D.平面内△ABC与动点P满足AP +) (∈R),则点P的轨迹必过△ABC的内心 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(25-26高一上辽宁辽阳·期末)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),若a/乃，则x= 13.(25-26高一上黑龙江哈尔滨期末)△ABC所对的三边为a,b,c,b2+c2=4a2,则B+c2的最小 sinBsinC 值 14.(24-25高一下…湖南岳阳·期末)在△ABC中，已知AB=4,AC=8,∠BAC=60°，M为线段BC的中点，N 为线段AC上一动点，则MN·BN的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(23-24高-下.贵州遵义月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.tanA=号 (1)求cosA2)当AB,AC-乏求△ABC的面积 16.(15分)(24-25高一下贵州遵义月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,C=牙，D 为AB边上一点. (1)若D为AB的中点，且b=2,求CD的长；(2)若CD平分∠ACB,且CD=2,求△ABC的面积. 第3页共4页 丽学科网·上好课 wWw.Z×Xk,com 上好每一堂课 17.(15分)(23-24高一下福建厦门期中)在△ABC中，α，b,c分别是角A,B,C所对的边，满足 2bcosC 2a-c. (1)求B;(2)若D是BC边上的三等分点，AD=V7,AB=2,求△ABC的面积 18.(17分)24-25高一下.贵州遵义月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5(s8sm4=60-59 sinC atb (1)求cosA:(2)若a=2V5,求BC边上的高的最大值.(3)若△ABC的垂心为MM在△ABC的内部)，直线 BM与AC交于点D,且AM=3,当AB+DM最大时，求AB. 19.(17分)(23-24高一下·贵州遵义月考)如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC=2,D为边AB的中点，平面 上一点E满足DE=AB. (1)若CE=V3,∠EDC=艺求线段AB的长度； (2)若CE=V6,∠EDC为钝角，求线段DC长度的取值范围. 第4页共4页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一下学期 第1章 平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一下学期第1章平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) ! (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 吹 2.回答第|卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 典 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(). A.零向量没有方向B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 N 效洞 C.只有零向量的模等于0D.向量AB与BA的长度相等 2.(24-25高一下.山东青岛期末)在△ABC中，AD=AB,E为CD的中点， 设AB=a,AC=五，则AE=() A. à+拓B.a+拓c.五+五0.五+五 3.(24-25高一下.甘肃天水·月考)已知非共线向量a、b,AB=d+2b,BC= 慰 3a-b,CD=-5石-36，则下列说法正确的是() 相 A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 4.(2025高一上·浙江温州专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABC0是正方形，己知点C的坐标为(V3,1),则点B的坐标为) A.(3-1,3+1)B.(3-1,1)C.(1,V3+1)D.(3-1,2) 苏 y大 数学第1页（共6页） 5.(24-25高一下.甘肃期末)已知向量a=(V3,1),b=(1,0),则a在b上的投 影长为) A.3 B.1 c.3 D.2 3 6.(25-26高一上·海南·开学考试)如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB 长为半径作弧，交AD于点F,交BG于点E,且EF1FG,若DF=2,DG=1, 则AB的长为( A.V10 B.2V5 C. 0. D E 7.(25-26高三上·江苏徐州·期中)在△ABC中，AB=2,AC=6,∠B-∠C= 60°，则BC=() A.2V7 B.5 D.7 7 c.2V7或2 8.(22-23高一下·江苏常州·开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的 一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求 一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小现己证明：在△ABC中，若 三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120时， 点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上 知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量， 且=2，=3，则a-引+反++a-的最小值是() A.3+23B.3-25C.23+2D.2W5-2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分. 9.(24-25高一下·江苏南通期中)已知向量a为非零向量，1是非零实数，则 下列说法错误的是(). A.a与-λa方向相反 B.a与2方向相同 c.-≥l D. 10.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,a=2V7,b=4,c=6,点0为△ABC的外接圆圆心，且满 足AO=1AB+AC,则下列结论正确的是() 数学第2页（共6页） A.A=I 6 8.88是-是C.C6A0=10D.4=号 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是() A.0为平面内一定点，如OA=30B-20C,则A、B、C三点共线且AB= 2BC B.非零向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角 C.已知d-（-6,8),是与平行的单位向量，则B-（,) D.平面内△ABC与动点P满足AP= +)Qc).则点P的抗迹 必过△ABC的内心 第IⅡ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(25-26高一上辽宁辽阳期末)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),若a//b, 则x= 13.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)△ABC所对的三边为a,b,C,b2+ c2=4a2,则mB+9的最小值 sinBsinC 14.(24-25高一下.湖南岳阳·期末)在△ABC中，已知AB=4,AC=8, ∠BAC=60°，M为线段BC的中点，N为线段AC上一动点，则M·B的 最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤， 15.(13分)(23-24高一下.贵州遵义·月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的 边长分别为a,b,c.tand=-专 (1)求cosA(2)当AB·AC=三求△ABC的面积 数学第3页（共6页） 16.(15分)(24-25高一下.贵州遵义月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知a=4,C=,D为AB边上一点. (1)若D为AB的中点，且b=2,求CD的长；(2)若CD平分∠ACB,且CD=2, 求△ABC的面积. 17.(15分)(23-24高一下.福建厦门期中)在△ABC中，a,b,c分别 是角A,B,C所对的边，满足2 bcosC=2a-c. (1)求B;(2)若D是BC边上的三等分点，AD=√7，AB=2,求△ABC的面 积 数学第4页（共6页） 18.(17分)(24-25高一下.贵州遵义·月考)已知△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且5〔sim8-sim4_6b-c sinC atb (1)求cosA;(2)若a=2V5,求BC边上的高的最大值.(3)若△ABC的垂 心为MM在△ABC的内部)，直线BM与AC交于点D,且AM=3,当AB+ DM最大时，求AB, 数学第5页（共6页） 19.(17分)(23-24高一下.贵州遵义·月考)如图所示，在△ABC中，AB= AC,BC=2,D为边AB的中点，平面上一点E满足DE=AB. (1)若CE=V5,∠EDC=2求线段AB的长度： (2)若CE=V6,∠EDC为钝角，求线段DC长度的取值范围. D E 数学第6页（共6页）学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高一下学期第1章平面向量 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1.(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(). A.零向量没有方向 B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.向量AB与BA的长度相等 【答案】A【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C由向量模的定义判断：D.由相反向量的定义 判断 【详解】A规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误： B两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确： C由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确： D向量AB与BA是相反向量，大小相同，方向相反，故正确： 故选：A 2.(24-25高一下山东青岛期末)在△ABC中，AD=2AB,E为CD的中点，设AB=d,AC=万，则AE=() A.ga+方 B.d+6 C.a+B D.a+五 【答案】B【难度】0.85【知识点】用基底表示向量 【分析】利用平行四边形法则结合已知条件表示出向量AE即可. 【详解】由题如图所示：因为E为CD的中点，AD=A正，A正=d,AC=方 所以正-=(ac+AD=(aC+B)=AC+丽-五+五， 6 2 故选：B 第1页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高一下.甘肃天水月考)已知非共线向量d、,AB=d+2b,BC=3a-b,CD=-5a-36,则下 列说法正确的是() A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 【答案】A【难度】0.85【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用平面向量共线定理求解 【详解】由题可得AC=AB+BC=4a+b,BD=BC+CD=-2a-46, 对于A,~AB=a+2万=-(-2石-4⑤=-BD,所以A,B,D三点共线，故A正确： 对于B,若ABC三点共线，则存在实数，使得A丽=C,则-3头无解，枚B错误： 对于C,若a.C0三点共线，则作在实数：使得C=0西。则已-无解，放C错误： 对于D,若A,C,D三点共线，则存在实数，使得AC=CD, 则一引，无解，故D错误 故选：A 4.(2025高一上·浙江温州.专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC0是正方形，己知点C的坐标为 (3,1),则点B的坐标为) 0 A.(5-1,3+1)B.(3-1,1)c.(1,V5+1) D.(3-1,2) 【答案】A【难度】0.65【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标 表示、利用坐标求向量的模 【分析】先设点的坐标，再结合边长及垂直应用平面向量数量积公式列式计算求解， 【详解】设B(xo,yo),因为四边形ABC0是正方形，所以OB|=√2OC, 所以x6+y=√2×V3+1=2V2, 因为0C1BC,所以0CCB=0,又因为0C=(V3,1),CB=(xo-V5,y0-1) 所以V3(x0-V3+y0-1=0, 第2页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以 V3x0+y%=4 x6+y=8 ,即得x号-2V3x0+2=0,解得x0=V3-1或x0=V3+1, 因为x<V3,所以x0=V5+1不合题意舍去， 所以 x=3-1,所以点(3-1,5+) y0=V3+1” 故选：A 5.(24-25高一下.甘肃期末)已知向量a=(V3,1),b=(1,0),则a在b上的投影长为) A. B.1 C.3 D.2 【答案】C【难度】0.65【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】求出在石在B上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可. 【详解】因为a=(v,1),b=(1,0) 所以a·b=(3,1)·(1,0)=3×1+1×0=V3,=V12+02=1 所以a在6上的投影向量晉石=是a0-(5o小.所以悟8，所以a在51的投影长为8 故选：C 6.(25-26高一上海南·开学考试)如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F,交BG 于点E,且EF1FG,若DF=2,DG=1,则AB的长为) A.V10 B.2V5 c. 0. 【答案】C【难度】0.65【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】方法一，以A点为坐标原点建系，设AB|=a,AD=b,根据EF⊥FG,点E,F在圆A上，利用向量 列出关于a,b的方程求解即可：方法二，过点E作ME⊥AD,垂足为M交BC于点N;过点A作AH L EF,垂足 为H,FH=EH=x,根据ta2G8C=贵-瓷列出关于x的方程求解即可， 【详解】方法一：以A点为坐标原点，分别以AB、AD方向为x轴正方向、y轴正方向，建立平面直角坐标系， 设1AB=a,lAD1=b,则A(0,0),B(a,0),D(0,b),C(ab),F(0,b-2),G(1,b), 圆A的方程x2+y2=a2,则F(0,a),故a=b-2, BE tBG=t(1-a,b)=t(3-b,b),E(3t-tb+b-2,tb),FE=(3t-tb+b-2,tb-b+2), 因AE=a,则(3t-tb+b-2)2+(tb)2=(b-2)①， 因FG=(1,2),则FG·FE=3t-tb+b-2+2tb-2b+4=3t+tb-b+2=0, 则t=号将其代入①式得(3号-b号+b-2)+(（b:)=-2, 第3页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即b-2)2(6b-27刀=0，得b=2(含，此时a=0)减b=则481=a=b-2= D G B 方法二：因DF=2,DG=1,则在Rt△FDG冲FG=VFD2+DG2=√22+12=√5， 则sin/FGD-是-S,eos∠FGD-%-号 FG 5 因EF1FG,AD1DC,则LFGD+∠GFD=∠AFE+∠GFD=90°， 5,cos∠AFE=5 则∠FGD=LAFE,有sinLAFE-25,co 5 过点E作ME⊥AD,垂足为M交BC于点N;过点A作AH L EF,垂足为H, M F D G C 易证四边形ABNM是矩形，则有MN=AB=AE=AF,则有FH=EH, 设H=BH=名于是有AF-=立=V5x,MF=Fcos.∠AFE=x ME-EFsin/AFE-5x.EN AF-ME-x AM-AF-MF-5x. 5 在矩形ABCD中，有CG=AF-1=√5x-1,BC=AF+2=VSx+2, 则m6Bc器瓷送器解得x-鸟即A8-5:- 21 5 故选：C 7.(25-26高三上江苏徐州期中)在△ABC中，AB=2,AC=6,LB-∠C=60°，则BC=() A.2V7 B.9 c.27或9 D.7 【答案】B【难度】04【知识点】三角恒等变形、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 14,COSC=57 【分析】由题意可推出simB-3sinC,结合∠B=60°+∠C和sin2C+cos2C=1,求出sinc=四， 14 继而求得sin2C,cos2C,即可求出sinA,利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】在△ABC中，AB=2AC=6,故是-品即得smB=3 @sinC,. 结合zB-4C=60,得∠B=60°+4C,则sin(60°+0=3snC.即cosC+sinC=3inC, 2 侧cosC=nC,即得tanC=号则C为锐角， 第4页共13页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cosC=inc,结合snC+cos2C=1,解得simC= 14,c0sC=5v7 14% 则sim2c=2 sinCcosC=2×叵x5=3, ,c0s2C=2c0s2C-1=2× 5V7 14 14 14 14 故sinA=sin(B+0=m(60+20=兰×片+片×兰=9 7 AB 2x49_16N5 sinc V21 7 14 故选：B 8.(22-23高一下·江苏常州开学考试)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的 有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小现已证明：在△ABC中， 若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB=∠APC=∠BPC=120时，点P到三角形三个顶点的距离之 和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，己知为平面内任意一个向量，和C是平面内两个互相垂直 的向量，且=2，=3，则a-+a++a-的最小值是() A.3+2V3 B.3-23 C.2W3+2 D.2W5-2 【答案】A【难度】0.15【知识点】利用坐标求向量的模、向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点P(x,y)到A(2,0),B(-2,0),C(0,3) 三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解. 【详解】~=2，=3，和c是平面内两个互相垂直的向量， 不妨设i=(2,0),c=(0,3),a=(x,y), 则反-=x-2)2+y2,表示点P(x,)到点A(2,0)的距离， 反+引=(x+2)2+y2,表示点Px,)到点B(-2,0)的距离， 反-=√x2+0-3),表示点P(x,)到点C(0,3)的距离， “位-+反++反-表示点P(x,y)到A(2,0),B(-2,0),C(0,3)三点的距离之和， 由费马点的性质可知，当LAPB=∠APC=∠BPC=120时，点P(x,y)到三角形三个顶点的距离之和最小， 点A(2,0),B(-2,0)关于y轴对称，点P在y轴上，如图， 0 A 在△A0P吨，∠AP0=APB=×120=60,又I0A=2, 第5页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..tanAPO I0Al lOPI 解得1OP1-,故点P的坐标为(0，) 3 PA=√0-22+(9-0)=9,1PB=√0+2y2+(9-0)=1Pc=3-29 此时，1PA+P+1PC=+4+3-25=3+2V3, 3 3 后-b+a++后-的最小值是3+23 故选：A 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.(24-25高一下·江苏南通·期中)已知向量为非零向量，λ是非零实数，则下列说法错误的是(). A.a与-a访向相反 B.a与a方向相同 c.|-λd≥ D.1λd=l2a 【答案】AcD【难度】0.85【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误。 【详解】对于A,当1<0时，a与-a方向相同，故A错误： 对于B,当λ≠0时，λ2>0，则与a方向相同，故B正确： 对于C,当|<1且1川≠0，即1∈(-1,0)U(0,1)时，-<d,故c错误： 对于D,表示a的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 10.(23-24高一下.黑龙江鸡西·期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2V7,b=4,c=6, 点O为△ABC的外接圆圆心，且满足AO=AB+uAC,则下列结论正确的是() A,A=若 B8是- C.CB·A0=10 D.=号 【答案】BC【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形 【分析】设△ABC的外接圆半径为r,根据余弦定理求解判断AB;根据投影向量与数量积的关系判断C: 结合AC·A0=8,AB·A0=18建立入，u的方程求解判断D 【详解】对于A,由余弦定理得c0sA=2-2-令又AE(0,心.散A=5A选项错误： 2bc 2×4×6 对于B,设△ABC的外接圆半径为r,由于点O为△ABC的外接圆圆心， 故OA=OB=OC=r, COSLOAB =04+AB2-0822c22 20A-AB 2r-c =云C0s∠0AC=04+4c3-0c2=4b2-r2_b 20A-AC 2r C 所以Os0A cos∠OAC ===B选项正确 对于C选项，由于CB=AB-AC,由向量数量积的几何意义得： A0在A丽上的投影向量为发AB,A丽40=}A丽·A丽=AB2=2=18, 第6页共13页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理AC,A0=AC:AC=AC2-b2=8, 故CB·A0=AB-AC·A0=AB,A0-AC·A0=18-8=10,故C选项正确： 对于D,因为AC·AB=AC]COsA=4×6×=12, 由于AC,A0=AC.(AB+uAC=1AC.AB+uAC2=121+16=8,即31+4μ=2， 由于AB·A0=AB·(AB+uAC=uAC·AB+1AB2=12μ+36=18，即2μ+61=3 所假十短=子解利1=专：-所以业=×会故D连项错谈 故选：BC 11.(25-26高一上·湖南衡阳·期末)下列结论正确的是() A.O为平面内一定点，如OA=30B-2OC,则A、B、C三点共线且AB=2BC B.非零向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角 C.已知ā=(-6,8)，是与平行的单位向量，则6=（-，) D.平面内△ABC与动点P满足AP=】 入∈R),则点P的轨迹必过△ABC的内心 【答案】AD【难度】0.4【知识点】三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用、由向量共线（平行） 求参数、向量夹角的计算 【分析】根据AB=2BC且AB与BC有公共点B可判断A:根据已知条件及向量的数量积公式求得cos0> 0,得出0≤0<艺，验证0=0的情况可判断B;求出与石平行的单位向量判断C:根据三角形的内心是 三角形三条角平分线的交点，可判断点P的轨迹是否过△ABC的内心 【详解】选项A：已知0A=30B-20C,则0A-0B=2(0B-0C, 0A-0B=BA,OB-0C=CB，则BA=2CB,即AB=2BC: 因为AB与BC有公共点B,所以A、B、C三点共线，故A选项正确： 选项B:根据向量的数量积公式a·i=|acos0,当a·i>0时，即cos0>0, 因为同>0，>0，所以c0s8>0.又因为0≤0≤m，所以0≤8<：， 当0=0时，a与b同向，此时夹角不是锐角，故B选项错误： 选项C:已知a=(-6,8),根据向量模长公式1=√x2+yd=(x,y), 可得网-V0+8=V36+6研=V0-10:与石平行的单位向量五=土备： 第7页共13页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即石=±=土()，所以石=()或方=（怎-），故C迹项错误： 10 选项D:因为 是与A丽同向的单位向量，二是与A正同向的单位向量， A丽 laCl 以品和高为邻边的平行四边形是菱形，所以品+需平分BAC, 已知AP= AB (UER),则AP与∠BAC的角平分线共线， ABI IACI 又因为A为公共点，所以点P的轨迹必过△ABC的内心，故D选项正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题共92分）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(25-26高一上辽宁辽阳·期末)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),若a/乃，则x= 【答案】1土√3【难度】0.85【知识点】由向量共线平行)求参数 【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解即可。 【详解】当a/b时，2(x+1)=x2,解得x=1±V5. 故答案为：1士5 13.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨期末)△ABC所对的三边为a,b,c,b2+c2=4a2,则mB+9的最小 sinBsinc 值 【答案】2V7【难度】0.4【知识点】正弦定理、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等 式得出cosA值域，构造函数利用函数单调性求最小值. 【详解】~B+C=π-A,sin(B+C)=sinA,故mB+9 sinA sinBsinC sinBsinc 由正弦定理得品品=点=2R,小snA=品nB=品 sinc ，故si4 2R=2aR b c 2R 2R be 由余弦定理得c0s4=24c2-a,又：b2+c2=4a2, osA-器故c-品装= 4RcosA 2cosA 2 3(2RsinA)3sinA 3tanA' 2cosA b2+c22 2bc,b2+c2=4a2,bc=3a .CosAAE (0,n),cosA <1), 2cosA t=os4.te很.)则品点在t眼)上单调递增， -补点叔和恤.童动值为白有9 “()(白）-9-9 故答案为：亚 第8页共13页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(24-25高一下·湖南岳阳·期末)在△ABC中，己知AB=4,AC=8,∠BAC=60°，M为线段BC的中点，N 为线段AC上一动点，则MN·BN的最小值为 【答案】3.75【难度】0,4【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】易得AB1BC,以点B为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由AB=4,AC=8,∠BAC=60°， 所以BG=Ac-AB=√(4C-A周 =√AC2+AB2-2AC·AB 64+16-2×4×8×2=43, 所以AB2+BC2=AC2,所以AB1BC, 如图，以点B为原点，建立平面直角坐标系，则A(4,0),B(0,0),C(0,4v3,M(0,23 设AN=1AC(0≤1≤1)，则AN=1AC=(-4,4V3=(-41,43),BM=(0,2W3),BA=(4,0), 故BN=BA+AN=(-41+4,4W3),M=BN-BM=(-41+4,4V31-2W3) 所以M.BN=(-41+4)2+4v3(451-2W3=642-561+16, 当A=时，M丽·BN取得最小值华所以MN·BN的最小值为空 故答案为：普 M B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)23-24高一下贵州遵义月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,tanA=子 (1)求cosA2)当AB.AC=子求△ABC的面积 【答案】(，(a【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值-一同角三角函数基本关系、三角形面 积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】(1)根据同角三角函数的关系直接计算即可： 2)根据AB:AC=cbosA,.可得bc=严，再求sinM,进而由SABc= 2 二bcsinA即可求解. 【详解】()tanA=-,Ae0,m. 则气94coeA=1' cosA 3sinA …3分 C0sA=3y西， …6分 10 2aBAC=c=ec=号解得bc=受 3 2 …8分 第9页共13页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又cosA-酒，Ae(0,W,asin4= 10 10 …10分 5ac=besind-x受×g-青 …13分 2 16.(15分)(24-25高一下贵州遵义月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c,已知a=4,C=号D 为AB边上一点. (1)若D为AB的中点，且b=2,求CD的长；(2)若CD平分LACB,且CD=2,求△ABC的面积 【答案】(1W3;(2)4V3.【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、三角形 面积公式及其应用 【分析】(1)根据向量的模长公式即可求解，(2)利用等面积法即可结合面积公式求解 【详解】(1在△ABC中，a=4,C=吾，因为D为AB的中点，所以CD=(CA+CB,两边平方得： CD2=(C2+CB2+2CAC=4+16+2×2×4×(=3, …4分 解得CD=3,所以CD=V3 …7分 (2)因为CD平分LACB,所以LACD=∠BCD= …8分 又SAACD+SABCD=S△ABc, 即时AC,CDsin-ACD+BC,CDsin-BCD-×BC×ACsin …10分 即2×4×b×sin号=b×2sing+2×4×2sin ,可得b=4, …13分 所以SSABC=×BC×ACsin号=4W3 …15分 17.(15分)(23-24高一下福建厦门期中)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，满足 2bcosC 2a-c. (1)求B:(2)若D是BC边上的三等分点，AD=√7，AB=2,求△ABC的面积 【答案】听2或9【难度】065 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可 (2)在△ABD中利用余弦定理求出BD的长，结合D是BC边上的三等分点分情况进行计算即可. 【详解】(1~2 bcosC=2a-c,∴2 sinBcosC=2sinA-sinC. 在△ABC中，A+B+C=t,.sinA=sinπ-(B+C)]=sin(B+C) ..2sinBcosC 2sin(B+C)-sinC 2sinBcosC+2cosBsinc-sinC, …3分 2 cosBsinc=simC,又sinC≠0（三角形内角Ce(0m,cosB= 又B∈(0，m,“B=号 …7分 2)如图，在△ABD中，AD=V7,AB=2,B=号 由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·c0sB,即(V7=2+BD2-2×2×BD× 化简得BD2-2BD-3=0,解得BD=3或BD=-1(舍去)， ……10分 第10页共13页