第8章 立体几何初步 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教版A版2019）

一、空间几何体的表面积与体积 常见的计算方法： (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解． (2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． (3)等积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理来求原几何体的体积． (多选)(2021·福建省漳州第一中学高一期中)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是(　　) A．直三棱柱的侧面积是4＋2 B．直三棱柱的外接球表面积是8π C．三棱锥E­AA1O的体积与点E的位置有关 D．AE＋EC1的最小值为2 ABD　解析：在直三棱柱中ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°， 则AC＝，底面ABC和A1B1C1是等腰三角形，侧面全是矩形， 所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确； 设底面外接圆半径为r，即2r＝，即r＝1， 所以直棱柱的外接球半径R＝ ＝， 直三棱柱的外接球表面积为S＝4πR2＝8π，故B正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点， ∴三棱锥E­AA1O的高为定值， ＝××＝，故C错误； 把侧面AA1C1C和侧面CC1B1B展开在一个平面上，当E为BB1的中点时， AE＋EC1取最小值，(AE＋EC1)min＝＝2，故D正确． [训练1] (1)(2021·河北保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，若V1＝2V2，则半球的半径与圆柱的高之比为(　　) A．4∶3 B．3∶4 C．1∶2 D．5∶3 (2)(2021·山东邹城市高一期中)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则(　　) A．圆锥的母线长为18 B．圆锥的表面积为27π C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60° D．圆锥的体积为18π (1)B　解析：设圆柱的高为h，半径为r，则圆柱的体积为V1＝πr2h． 而半球的体积为V2＝×＝． 因为V1＝2V2，所以πr2h＝，所以＝． (2)D　解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2， 又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl， 因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以πl2＝3×3πl，解得l＝9， 所以圆锥的母线长为9，故选项A错误； 圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×3×9＋π×32＝36π，故选项B错误； 因为圆锥的底面周长为2π×3＝6π， 设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α， 则6π＝α·9，解得α＝， 所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误； 圆锥的高h＝ ＝＝6， 所以圆锥的体积为V＝×π×32×6＝18π，故选项D正确． 二、空间中的平行关系 1．证明线线平行的依据 (1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)．(2)公理4．(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．(5)线面垂直的性质定理． 2．证明线面平行的依据 (1)定义．(2)线面平行的判定定理．(3)面面平行的性质． 3．证明面面平行的依据 (1)定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一直线的两平面平行．(4)面面平行的传递性． 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA，在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC，交BD于点O，连接FO，则PF＝PB． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点． ∴OF∥PD． 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA∥PB，MA＝PB， ∴PF∥MA，PF＝MA．∴四边形AFPM是平行四边形． ∴AF∥PM．又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD． ∴AF∥平面PMD． 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC． ∴平面AFC∥平面PMD． [训练2] 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什