专题01 立体图形直观图考点的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题01 立体图形直观图考点的四大常考题型 题型一：斜二测画直观图 题型二：直观图还原几何图形 题型三：斜二测求长度 题型四：斜二测求面积 题型一：斜二测画直观图 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 2．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 3．已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 5．如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为 ．      6．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中的面积.      7．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ）    A． B．4 C． D． 8．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 9．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 10．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是 . 题型二：直观图还原几何图形 11．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 12．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 13．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 14．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 15．如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 16．如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图．已知，，三角形的面积为．则原平面图形中的长度为 ．        17．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 19．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 20．如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ）． A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 题型三：斜二测求长度 21．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是 . 22．如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ）    A．3 B． C．6 D．   23．将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 .      24．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    25．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D．   26．（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 28．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 29．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 ． 题型四：斜二测求面积 30．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 31．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 32．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．的周长为 D．的面积为 33．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 34．已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（    ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 35．如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 36．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； 37．已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是 .      38．已知水平放置的平面图形的直观图如图所示，其中，，，，，则平面图形的面积为（    ）    A．6 B．3 C．8 D．4    1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 立体图形直观图考点的四大常考题型 题型一：斜二测画直观图 题型二：直观图还原几何图形 题型三：斜二测求长度 题型四：斜二测求面积 题型一：斜二测画直观图 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 2．如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 3．已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 4．如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 5．如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为 ．    【答案】 【分析】作出正方形的直观图，再结合斜二测画法的规则计算可得. 【详解】作出正方形的直观图如图所示：    因为，， 所以顶点到轴的距离为． 故答案为： 6．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中的面积.    【答案】答案见解析，的面积为 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求得四边形的直观图. 【详解】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为.    7．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得的原图，根据长度关系即可求解. 【详解】根据题意可得的原图如图所示，其中D为AB的中点， 由于为的中点，, 且OA=2，，，故． 故选：C      8．用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图． 【详解】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 9．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【详解】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 10．如图等腰梯形，，，，，那么该梯形直观图的面积是 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知等腰梯形的高, 由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为， 的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为 故答案为： 题型二：直观图还原几何图形 11．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 【答案】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【详解】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 12．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】把直观图还原,可知是直角梯形，利用梯形面积公式可求答案. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形后，得到; 水平方向长度不变，则四边形是直角梯形，． 故答案为：6. 13．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 14．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 15．如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】 如图1，在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图2所示. 由斜二测画法，可得，，， 所以，， . 故选：ABD. 16．如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图．已知，，三角形的面积为．则原平面图形中的长度为 ．    【答案】 【分析】利用三角形面积公式求出，再作出原平面图形，利用勾股定理计算可得； 【详解】因为，，且三角形的面积为， 所以， 所以， 三角形的原平面图形如图所示， 所以，且， 所以．    故答案为：  . 17．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 18．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系即可得解. 【详解】因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 19．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 20．如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ）． A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 【答案】C 【分析】根据斜二测画法还原平面图形可知结果. 【详解】因为轴，所以在中，， 又因为是的中点，所以D是BC中点， 所以为等腰三角形，有． 故选：C． 题型三：斜二测求长度 21．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知.则边的实际长度是 . 【答案】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】 如图，将直观图化成平面图中，，， 所以 故答案为：. 22．如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ）    A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高. 【详解】如图，作线段轴，交轴于点， 则， 所以边上的高为. 故选：D.    23．将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 .    【答案】 【分析】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再利用余弦定理，求出边. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为20的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示：   ，， 在三角形中，， 由余弦定理得，． 故答案为：． 24．用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【答案】2 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出结论. 【详解】如图，在直观图中，则. 故答案为：2 25．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 26．（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【详解】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 27．按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】由斜二测画法求解即可． 【详解】如图所示：原图为： ， 由斜二测画法得，， 得， 则， 故为等边三角形， 故答案为：等边三角形 28．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 29．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 ． 【答案】 【分析】画出原图形，由勾股定理求出答案. 【详解】根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图， 由斜二测法则知，， 所以， 故答案为： 题型四：斜二测求面积 30．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 31．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【答案】（1）答案见解析；（2）3 【分析】（1）根据斜二测画法的规则进行作图即可； （2）根据斜二测画法的规则：平行轴的线段长度不变，平行轴的线段长度减半，由此可求出原的面积. 【详解】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 32．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（ ） A．为锐角三角形 B．的面积为 C．的周长为 D．的面积为 【答案】CD 【分析】根据斜二测法可求出，，再利用余弦定理可求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】如图，因为正三角形的边长为，故， 所以，， 在中，，由余弦定理得： ， 在中，，由余弦定理得： ， 在中，因为， 由余弦定理知，故A错误； 又因为，故B错误，D正确； 的周长为： ，故C正确. 故选：CD. 33．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图， 由，，所以， 所以，则， 即的面积为. 故选：D 34．已知梯形，按照斜二测画法画出它的直观图，如图，其中，，，下列说法正确的有（    ） A．线段平行于轴 B． C．梯形是直角梯形 D．梯形的面积是3 【答案】ABC 【分析】将直观图还原为原图形，得到各边长和梯形面积，即可进行判断. 【详解】 直观图还原为原图形，是直角梯形， 如图，其中，，，线段平行于轴，故ABC正确； 梯形的面积为，故D错误； 故选：ABC． 35．如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【答案】/ 【分析】由斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，如图， 其中上底，高，下底为， ． 故答案为：． 36．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． (1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； 【答案】(1)作图见解析，4； 【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积. 【详解】（1）在直观图中，，， 则在平面图形中，，，于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为． 37．已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是 .    【答案】 【分析】画出四边形的原图形，进而求出面积. 【详解】连接，则与平行，且有勾股定理得，    故画出四边形的原图形，如下：    四边形为平行四边形，高， 故四边形的面积是. 故答案为： 38．已知水平放置的平面图形的直观图如图所示，其中，，，，，则平面图形的面积为（    ）    A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形的形状，求出上下底边边长，以及高，然后求出面积. 【详解】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，在轴上，，，， 则原平面图形中平行于轴，在轴上， 从而有，且，，，如图所示，    所以直角梯形的面积为. 故选：D． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $