第7讲 数列综合应用-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 数列专题 引子: 数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防; 数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指; 好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨; 她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。 第七讲 数列的综合应用 思维导图-----题型梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 题型一：数列与函数、不等式的综合问题 题型二：数列不等式的证明 题型三：数列与函数的交汇问题 题型四： 整数的存在性问题（不定方程） 题型五： 数列与导数的交汇问题 题型六：数列与几何的交汇问题 题型一：数列与函数、不等式的综合问题 思维导图-----方法梳理 （1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性． （2）数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． 利用等价转化思想将其转化为最值问题. 恒成立； 恒成立. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2022·山西吕梁·二模（文））已知是各项均为正数的等比数列，，且，则k的最小值是___________. 例2．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求； (2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 例3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，，.若对任意的正整数n，都有，则整数k＝（       ） A．34 B．35 C．18 D．19 例4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 例5．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列中，，，则满足的n的最大值为（       ） A．3 B．5 C．7 D．9 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.（2022·四川·树德中学高三开学考试（理））已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为（       ） A． B． C． D． 2.（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（       ） A．2 B． C． D．3 3．（2022·浙江·高三专题练习）数列的前n项和为，且，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 4.（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若对于任意的， 不等式恒成立，则的最小值是（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：数列不等式的证明 思维导图-----方法梳理 （1）构造辅助函数（数列）证明不等式 （2）放缩法证明不等式 在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；. 放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 方法1：对进行放缩，然后求和. 当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度. 方法2：添舍放缩 方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明. 方法4：单调放缩 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．（2021·全国·高