第3讲 函数的单调性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第3讲 函数的单调性 知识与方法 一般地, 连续函数会涉及三类特殊值: 极值、最值、极限. 极限的概念虽然在高中数学中只 在导数的引入中有所提及, 但其影子在其他很多模块中都有出现, 作为拓展, 也是需要初步了 解的. 而函数的单调性直接决定了函数这三类值的大小和取得的前提条件. 一、函数单调性的判定方法 1 定义法: 取值、作差、定号、判断. 2 图象法: 根据函数图象的升降情况进行判断. 3 直接法: 运用已知的结论, 直接得到函数的单调性. 4 复合函数: 将复合函数 分解成 , 前者称为外函数, 后者称为 内函数. 复合函数的单调性与内外函数间的关系为“同增异减”. 二、求函数最值的常用方法 1 配方法: 主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数, 要特别注意自变量的取值 范围. 2 判别式法: 主要适用于可化为关于 的二次方程 的函数. 3 换元法: 用换元法时一定要注意新元的取值范围. 4 数形结合法: 对于图象较容易画出的函数的最值问题, 可借助图象直观求出. 5 单调性法: 函数的单调性对最值有直接影响. 三、易错警示 任意性 (恒成立) 问题和存在性问题是易错点, 等价转换表如下. 对 恒成立 对 , 使 成立 , 对 成立 , 使 成立 典型例题 【例1】函数 的最大值为 ; 函数 的值域为 ; 【例2】设，，且，则（） A.有最小值 B.有最小值 C.有最小值 D.有最小值4 【例3】已知函数在区间上是关于的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例4】已知二次函数对一切，都有成立，且，. （1）求的解析式； （2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，求的最大值. 【例5】求函数的值域. 【例6】设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例7】函数的最小值为_______. 【例8】若函数为的一个“倍倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求在上的“8倍倒域区间”； （3）若在定义域内存在“倍倒域区间”，求的取值范围. 【例9】已知函数，且，若对恒成立，则的最小值为_______. 【例10】把函数在区间上的最大值记为，最小值记为.若函数，则_______. 【例11】（多选题）已知函数的定义域为，若存在区间使得满足： （1）在上是单调函数，（2）在上的值域是， 则称区间为函数的“倍值区间”. 下列函数中，存在“倍值区间”的为 A. B. C. D. 【例12】在锐角 中,，， 分别表示内角，，所对的边长,为边上的高, 若, 则的最大值是_______. 【例13】已知函数的最大值为，最小值为，则的值为_______. 【例14】（多选题）已知定义在上的函数，满足，且对，当时，（为常数），若关于的方程且有且只有3个不同的根，则 A.的周期 B.在上单调递减 C.的图象关于直线对称 D.实数的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 函数的单调性 知识与方法 一般地, 连续函数会涉及三类特殊值: 极值、最值、极限. 极限的概念虽然在高中数学中只 在导数的引入中有所提及, 但其影子在其他很多模块中都有出现, 作为拓展, 也是需要初步了 解的. 而函数的单调性直接决定了函数这三类值的大小和取得的前提条件. 一、函数单调性的判定方法 1 定义法: 取值、作差、定号、判断. 2 图象法: 根据函数图象的升降情况进行判断. 3 直接法: 运用已知的结论, 直接得到函数的单调性. 4 复合函数: 将复合函数 分解成 , 前者称为外函数, 后者称为 内函数. 复合函数的单调性与内外函数间的关系为“同增异减”. 二、求函数最值的常用方法 1 配方法: 主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数, 要特别注意自变量的取值 范围. 2 判别式法: 主要适用于可化为关于 的二次方程 的函数. 3 换元法: 用换元法时一定要注意新元的取值范围. 4 数形结合法: 对于图象较容易画出的函数的最值问题, 可借助图象直观求出. 5 单调性法: 函数的单调性对最值有直接影响. 三、易错警示 任意性 (恒成立) 问题和存在性问题是易错点, 等价转换表如下. 对 恒成立 对 , 使 成立 , 对 成立 , 使 成立 典型例题 【例1】函数 的最大值为 ; 函数 的值域为 ; 【分析】 本题为求函数值域 (最值) 的基本题型，同学们务心必要掌握. 第一空考虑到 “一次”与