第4讲 函数的奇偶性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第4讲 函数的奇偶性 知识与方法 一般地，平面图形的对称分为三种：旋转对称、轴对称、中心对称.其中的中心对称为一种特殊的旋转对称（旋转角为），因为其地位特殊且重要，故单列.而奇（偶）函数的图象特征正是这些对称思维的典型案例，既是要点所附，也是起点所依. 一、利用定义判断函数奇偶性的步骤 二、奇偶性与对称性 1.偶函数的图象关于轴对称，在对称的区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上具有相同的单调性. 2.若为偶函数，则；若奇函数的定义域包含0，则. 3.一般地，定义域关于原点对称的函数均可以写成一个奇函数与一个偶函数之和. 4.在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇. 5.对于多层复合函数，如，若定义域关于原点对称，则满足“一偶即偶，要奇倶奇”. 6.对称相关性质如下. （1）若，则的图象关于直线对称. （2）若，则的图象关于点中心对称. （3）互为反函数的函数与的图象关于直线对称. （4）函数与的图象关于直线对称. 三、易错警示 1.判断奇偶性之前，未注意判断定义域的对称性. 2.判断分段函数的奇偶性时，未注意定义域内取值的任意性. 3.常见却容易判断失误的函数如下. 奇函数：，， 偶函数：等 典型例题 【例1】已知函数是偶函数，则_______. 【例2】判断下列函数的奇偶性 (1) (2)； (3)． 【例3】 判断下列函数的奇偶性． (1) (2) 【例4】(多选题)已知定义在上的函数，若为奇函数，且，则（ ） A． B． C． D．在区间上至少有25个零点 【例5】设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 【例6】 设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【例7】(多选题)已知定义在区间上的函数满足，当时，．如果关于的方程有解，记所有解的和为，则可能为（ ） A． B． C． D． 【例8】已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【例9】(多选题)已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A．是奇函数 B．函数有唯一零点 C．在上单调递减 D．的图象与的图象有无数个交点 【例10】 (1)若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数； (2)若对于任意实数，函数都有，求证：为偶函数； (3)设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数． 【例11】 已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数的最大值为（ ） A． B． C．0 D．1 【例12】已知函数，若满足，则的取值范围是 . 【例13】已知函数，若，则满足的的值为 . 【例14】 (多选题)已知函数对任意实数都有，若，，则以下结论中正确的是（ ） A．函数对任意实数都有 B．函数是偶函数 C．函数是奇函数 D．函数都是周期函数，且是它们的一个周期 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 函数的奇偶性 知识与方法 一般地，平面图形的对称分为三种：旋转对称、轴对称、中心对称.其中的中心对称为一种特殊的旋转对称（旋转角为），因为其地位特殊且重要，故单列.而奇（偶）函数的图象特征正是这些对称思维的典型案例，既是要点所附，也是起点所依. 一、利用定义判断函数奇偶性的步骤 二、奇偶性与对称性 1.偶函数的图象关于轴对称，在对称的区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上具有相同的单调性. 2.若为偶函数，则；若奇函数的定义域包含0，则. 3.一般地，定义域关于原点对称的函数均可以写成一个奇函数与一个偶函数之和. 4.在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇. 5.对于多层复合函数，如，若定义域关于原点对称，则满足“一偶即偶，要奇倶奇”. 6.对称相关性质如下. （1）若，则的图象关于直线对称. （2）若，则的图象关于点中心对称. （3）互为反函数的函数与的图象关于直线对称. （4）函数与的图象关于直线对称. 三、易错警示 1.判断奇偶性之前，未注意判断定义域的对称性. 2.判断分段函数的奇偶性时，未注意定义域内取值的任意性. 3.常见却容易判断失误的函数如下. 奇函数：，， 偶函数：等 典型例题 【例1】已知函数是偶函数，则__