第5讲 函数的周期性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第5讲 函数的周期性 知识与方法 函数的周期性与单调性，奇偶性一样，是函数的重要性质．在高中所学的基本初等函数中，只有三角函数具备周期性，能体现出周期性的独特魅力．除了三角函数，分段函数与抽象函数也往往是考查周期函数的载体． 一、三角函数恒等变形的基本策略 1．常值代换：特别是“1”的代换． 2．项的分拆与角的配凑：如等． 3．降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理． 4．转化法：遇切化弦、化同角(或同边)、复角化单角、异名化同名、高次化低次等． 5．合一变形：化为(一角一名一次)的形式． 二、函数周期性的几个重要结论 1．的周期为． 2．若满足以下条件，则均可得到周期为： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．的周期为． 4．的周期为． 5．双轴双心两倍距，单轴单心四倍距． 三、易错警示 图象平移和【解析】式变换之间的关系有两个易错点，一是移动的起点和目标的顺序，二是移动的量．平时所说的“左加右减、上加下减”的单位数是特指“一个正的或”的变化率．典型案例：的图象可由的图象通过“向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度”的平移得到． 典型例题 【例1】 下列区间中，函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【例2】 (多选题)已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若对于任意的，则的值可以为（ ） A． B． C． D． 【例3】 (多选题)已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，则（ ） A．当时，取最小值 B．在上单调递减 C．的图象向左平移个单位长度后对应的函数是偶函数 D．直线与图象的所有交点的横坐标之和为 【例4】设函数(,为自然对数的底数),若曲线上存在点,使得,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【例5】(多选题)已知函数图象上相邻的最高点之间的距离为,则下列结论中正确的是（ ） A.的图象关于点中心对称 B.的图象关于直线对称 C.在区间上的值域为 D.将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,然后向左平移个单位长度,所得图象对应函数 【例6】设函数 (1)求函数在上的最小值; (2)若不等式在上恒成立,求的取值范围; (3)若方程在上有四个不相等的实数根,求的取值范围. 【例7】（多选）设函数 A.在上单调递增 B.的值域为 C.的一个周期为 D.的图象关于点对称 【例8】若,则 A. B. C. D. 【例9】（多选）已知曲线在区间恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论中正确的是（ ） A.存在,使 B.存在,使 C.有且仅有一个,使 D.存在,使 【例10】(多选题) 已知函数 的 图象与 轴交于点 , 与 轴交于点 , 如图, , . 则下列说法中正确的为（ ） A.的最小正周期为12 B. C.的最大值为 D.在上单调递增 【例11】(多选题)已知函数,则下列结论中正确的是（ ） A.是偶函数 B.是周期函数 C.在上单调递减 D.的最大值为1 【例12】已知函数的部分图象如图所示, 分别为该图象的最高点和最低点, 点的坐标为, 点的坐标为, 且 . (1)求解析式; (2)若方程在区间上恰有一个根,求实数的取值范围. 【例13】在等腰Rt中,在线段上,且,求的最小值. 【例14】已知,函数若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 函数的周期性 知识与方法 函数的周期性与单调性，奇偶性一样，是函数的重要性质．在高中所学的基本初等函数中，只有三角函数具备周期性，能体现出周期性的独特魅力．除了三角函数，分段函数与抽象函数也往往是考查周期函数的载体． 一、三角函数恒等变形的基本策略 1．常值代换：特别是“1”的代换． 2．项的分拆与角的配凑：如等． 3．降次与升次：利用升幂和降幂公式，注意遇无理变有理． 4．转化法：遇切化弦、化同角(或同边)、复角化单角、异名化同名、高次化低次等． 5．合一变形：化为(一角一名一次)的形式． 二、函数周期性的几个重要结论 1．的周期为． 2．若满足以下条件，则均可得到周期为： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．的周期为． 4．的周期为． 5．双轴双心两倍距，单轴单心四倍距． 三、易错警示 图象平移和【解析】式变换之间的关系有两个易