专题05 盘点均值不等式求最值的七种配凑方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题05 盘点均值不等式求最值时七种配凑方法 一元问题凑定积 球与圆锥交汇的问题 一元问题凑定和 两元问题消元法 两元问题常数代换法 分离常数法 两元问题换元法 两元问题凑定积 典例讲解 一、一元问题凑定积 模型（1）：，当且仅当时等号成立； 1、已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 模型（2）：，当且仅当时等号成立； 2．已知，则函数的最小值为_______. 3、要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米. 模型（3）：，当且仅当时等号成立； 4、节假日期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时． (1)求该车型的平均车长； (2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？ 二、一元问题凑定和 模型：，当且仅当时等号成立. 1、已知，求的最大值. 2、已知，则取得最大值时的值为________． 3、根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长． 3、 分离常数法 1、函数的最小值是__________. 2. 函数取得的最小值时，的值为___________． 3、当时，函数的最小值为___________． 四、两元问题消元法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1、已知，则的最小值是（ ） A．14 B． C．8 D． 2、已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 3．若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、已知，则的最小值是 ． 5、已知，且，则的最小值为_______________. 6．若均为非负实数，且，则的最小值为______. 五、两元问题常数代换法 模型：已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件. 注：1．常数代换法的运用技巧：常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题． 2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理， 1．已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A．20 B．24 C．28 D．32 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D． 3．的最小值为（ ） A．2 B．16 C．8 D．12 4．点在曲线：上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 5．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。 7．如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______. 六、两元问题换元法 1、已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 2、实数a，b满足，，，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C． D． 3、若，且，则的最小值为 ． 4、已知为正实数，则的最小值为______. 5、已知，，且，则的最小值是______. 七、两元问题凑定积 1．拼凑法求最值 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项