专题04 盘点处理不等式恒成立的六种方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题04 盘点处理不等式恒成立的六种方法 最值法 处理不等式恒成立的六种方法 分离参数法 变更主元法 分类讨论法 数形结合法 判别式法 不等式恒成立问题的处理策略 一、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种：一是在全集R上恒成立：二是在某给定区间上恒成立： 1、一元二次不等式在全集R上恒成立的求解方法： (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)在全集R上恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)在全集R上恒成立的充要条件是 2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a， 即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 二、解含参数的一元二次不等式的解题策略 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 三、给定参数范围的恒成立问题的求解方法： 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． 典例讲解 类型一、分离参数法 1．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知、,若恒成立,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3．设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ． 4．已知函数f(x)＝ax2－xln x在上单调递增，则实数a的取值范围是________． 5.已知函数，.当时，求使不等式恒成立的最大整数的值. 6. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若，求实数的取值范围. 类型二、变更主元法 1.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________． 3．函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是______________． 类型三、数形结合法 1．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D. 2、设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 3．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________． 类型四、分类讨论法 1．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是___． 3、设函数f(x)＝mx2－mx－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围为________． 4．已知函数．若对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； 类型五、判别式法 1. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 2．已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤ (x＋2)2成立． (1)证明：f(2)＝2； (2)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围． 类型六、最值法 1、已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，当x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求实数k的取值范围． 2．已知函数f(x)＝aln x＋＋bx，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋1＝0. (1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间； (2)若关于x的不等式f(x)－2≥x＋恒成立，求实数m的取值范围． 巩固练习 1．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(0,4] B．(0,2] C．(－∞，4] D．(－∞，2] 2．当时，不等式恒成立，则的取值范