广东省揭阳市普宁国贤学校2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学 一、单选题(共40分) 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．若函数(其中)存在零点，则的取值范围是（    ） A． B．(1，3] C．(2，3) D．(2，3] 6．已知为奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7．现有下列五个结论，正确的个数为（    ） ①若，则有； ②对任意向量、，有； ③对任意向量、，有； ④对任意复数，有； ⑤对任意复数，有． A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（    ） A．一条线段 B．一段圆弧 C．一部分球面 D．两条平行线段 二、多选题(共20分) 9．有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（    ） A．平均数不变 B．众数不变 C．极差变小 D．第20百分位数变大 10．已知O为坐标原点，点，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·广东茂名·模拟预测）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当n过时，光由所经过的路程为13 C．射线n所在直线的斜率为k，则 D．若，直线PT与C相切，则 12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意的，都有 B．对于任意的，数列不可能为常数列 C．若，则数列为递增数列 D．若，则当时， 三、填空题(共20分) 13．中的系数为__________（用数字作答）. 14．已知，则___________. 15．已知为奇函数，则________． 16．球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是___________. 四、解答题(共70分) 17．已知数列满足，其中是的前项和. (1)求证：是等差数列； (2)若，求的前项和. 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为. (1)求证：平面 (2)若，求二面角的正弦值. 19．如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）. (1)求的长； (2)在中，若，试求的取值范围. 20．某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）. (1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：） (2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？ 21．已知抛物线C：与直线相切． (1)求C的方程； (2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程． 22．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 参考答案： 1．C 【分析】根据集合的交集运算可得. 【详解】，. 故选：C 2．C 【分析】根据共轭复数的概念可求得的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果. 【详解】由已知可得，所以. 故选：C. 3．B 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 4．A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件， 由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：. 故选：A． 5．C 【分析】先判断，再判断指数函数在区间上无零点，可得函数在区间上存在零点，利用对