第3讲 函数的单调性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第3讲 函数的单调性 典型例题 【例1】求函数的值域. 【例2】求函数的值域. 【例3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为 。 【例4】已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【例5】已知函数，求函数的值域. 【例6】设函数，若存在实数，使在上的值域为，则正实数的取值范围是_______. 【例7】（多选题）已知函数若，且，设，则（） A.没有最小值 B.的最小值为 C.没有最大值 D.的最大值为 【例8】对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【例10】已知，则的最大值_______. 【例11】已知实数，函数在区间上的最大值是2，则_______. 【例12】对于定义域为的函数，如果存在区间 , 同时满足：① 在 上是单调函数，②上的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. 已知函数有“优美区间”，当变化时，求的最大值_______. 【例13】已知在中，内角所对的边长分别为，若边上的高为，则当取得最大值时，_______. 【例14】在平面直角坐标系中，设定点是函数图象上的一个动点，若之间的最短距离为，则满足条件的实数的值为______. 【例15】已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 函数的单调性 典型例题 【例1】求函数的值域. 【答案】. 【解析】,是奇函数. 设,则,即. , 当且仅当,即时,上式取等号. 因为, 所以的值大于或等于0,其值域为. 由奇函数的性质可得原函数的值域为. 【例2】求函数的值域. 【答案】. 【解析】令, 则 , 当且仅当时等号成立, 所以函数的值域为. 【例3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】函数在上为增函数, 则有解得. 故答案为. 【例4】已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】(1)或 【解析】(1) (i)当且时,,此时在上单调递增,可取. (ii)当时,,且当时,. 二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,如图在上单调递增,可取. (iii)当时,如图2,若在上单调递增,则或,得或. 综上所述,实数的取值范围是. 图1 图2 (2)(i)当时,在上单调递增, ,即, 解得(舍去)或. (ii)同(2)(i),当时,在上单调递增,可解得(均舍去)； 当时,可解得(均舍去); 当时,可解得; 当时,可解得(均舍去). 综上,或. 【例5】已知函数，求函数的值域. 【答案】. 【解析】解法1：. 令,则, 构造函数, 则是上的增函数,从而, 因此. 解法.令为第四象限角,则,可看作图中单位圆上一点与点连线斜率的一半的变化范围,如图,将2和代人可得所求函数的值域为. 【例6】设函数，若存在实数，使在上的值域为，则正实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】因为, 所以. 由函数的性质知在上是增函数, 所以即 所以 即方程在上有两个不等的实数根. 设, 则. 当时,单调递增;当时,单调递减. 又, 由于, 所以,从而, 故. 【例7】（多选题）已知函数若，且，设，则（） A.没有最小值 B.的最小值为 C.没有最大值 D.的最大值为 【答案】 【解析】如图,作出函数的图象. 因为且,则, 所以,即. 由解得, 又, 故当时,,当时,. 故选BD. 【例8】对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若是定义在上的“倒戈函数”, 则存在满足, 即,得. 构造函数, 令, 则在上单调递增,在上单调递减,当时取得最大值0,当或时取得最小值. 又,所以实数的取值范围是. 故选A. 【例10】已知，则的最大值_______. 【答案】. 【解析】解法, 的几何意义为单位圆上的点与定点连线的斜率,如图. 设过点的切线为,则,解得. 结合图象,得或, 则, 所以的最大值为. 解法2：令, 则,同上,转化为圆上的点与点连线的斜率, 易得, 则的最大值为. 解法3：圆上的点到直线的距离为,又点在直线的下方,则 同理,圆上的点到直线的距离为,则 如图,设,则.结合图形可知,当直线与圆相切时,取最小值,,则,从而,所以的最大值为. 解法4