第4讲 函数的奇偶性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第4讲 函数的奇偶性 典型例题 【例1】若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)． 【例3】判断下列函数的奇偶性． (1) (2) 【例4】(多选题)已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ） A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称 C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数 【例5】设是定义域为的奇函数，且．若，则（ ） A． B． C． D． 【例6】已知函数，则 . 【例7】已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有．若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【例8】已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，则在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例9】（多选题)下列函数中，在其定义域内是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 【例10】 (多选题)若函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【例11】已知函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例12】(多选题)对于函数，下列判断中正确的是（ ） A． B．当时，方程有唯一实数解 C．函数的值域为 D．对 【例13】若定义在上的偶函数在上单调递增，且，则下列取值范围中，每个都能使不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【例14】已知函数若关于的方程有四个不等的根，则的值是（ ） A．0 B．2 C．4 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 函数的奇偶性 典型例题 【例1】若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且, 所以在上也单调递减, 且. 所以当时,; 当时,. 由可得 或或, 解得或, 所以满足的的取值范围是. 故选D. 【例2】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数;(2)非奇非偶函数;(3)既是奇函数又是偶函数. 【解析】(1)由题意,函数满足不等式组 由解得,此时, 所以,即函数的定义域为,则定义域关于原点对称, 任取实数,满足, 即,所以函数为偶函数. (2)由,解得,即函数的定义域为,不关于原点对称,所以函数是非奇非偶函数. (3)应满足,即, 即函数的定义域为,定义域关于原点对称. 因为, 所以对于定义域内任意实数,都有成立, 从而函数既是奇函数又是偶函数. 【例3】判断下列函数的奇偶性． (1) (2) 【答案】(1)偶函数;(2)奇函数. 【解析】(1)由题意知的定义域为,关于原点对称. 当时,, 所以; 当时,, 所以. 综上所述,对于任意,都有,所以是偶函数. (2)由题意可得定义域为,关于原点对称. 任取实数,则,; 任取实数,则,; 当时,,满足. 综上,,所以为奇函数. 【例4】(多选题)已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ） A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称 C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数 【答案】ABC 【解析】因为,所以,即,故A正确. 因为函数为奇函数,所以函数的图象关于原点中心对称,故B正确. 又函数为奇函数,所以,根据,用代替有,所以,用代替有,即函数为上的偶函数,故正确. 因为函数为奇函数,所以0,又函数为上的偶函数,,所以函数不单调,故D不正确. 故选ABC. 【例5】设是定义域为的奇函数，且．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得 而,故. 故选C. 【例6】已知函数，则 .