第5讲 函数的周期性 讲义-2023届高考数学二轮复习

第5讲 函数的周期性 典型例题 【例1】若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【例2】(多选题)已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【例3】(多选题)若函数,则（ ） A.是周期函数 B.在上有4个零点 C.在上是增函数 D.的最小值为 【例4】已知函数(为常数)的图象的一条对称轴为直线,若,且满足在区间上是单调函数,则的最小值为________． 【例5】(多选题)已知函数,将图象上所有点向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.若为偶函数,且最小正周期为,则（ ） A.的图象关于点对称 B.在上单调递增 C.在上有且仅有3个解 D.在上有且仅有3个极大值点 【例6】(多选题)已知函数的定义域为,值域为,则的值可能是（） A. B. C. D. 【例7】若函数有最大值2,最小值,则（ ） A.5 B.6 C.8 D.9 【例8】设,则函数的最大值为 ________． 【例9】(多选题)已知函数,且对任意都有 ,则（ ） A.的最小正周期为 B.在上单调递增 C.是的一个零点 D. 【例10】(多选题)将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则下列关于函数的说法中正确的是 A.最小正周期为 B.图象关于点对称 C.图象关于轴对称 D.在上单调递增 【例11】(多选题)已知函数的图象的一条对称轴为直线,其中为常数,且,则以下结论中正确的是 A.的最小正周期为 B.将的图象向左平移个单位长度所得图象关于原点对称 C.在上单调递增 D.在上有66个零点 【例12】函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与轴的交点,且/为正三角形,则的值为 ________． 【例13】已知,点从点沿直线运动到点,过点作的垂线,记直线左侧部分的多边形为,如图,设的面积为的周长为. (1)求和的解析式; (2)记,求的最大值. 【例14】(多选题)已知函数,若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离至少为,且在区间上存在最大值,则的可能取值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 函数的周期性 典型例题 【例1】若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】,当时,. 由于在区间上单调递增,则,所以. 又在区间上单调递减,所以在处取得最大值, 则，又,所以,解得. 故选C. 【例2】(多选题)已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由图象可知,,则,所以A错误. 当时,,则， 解得, 从而函数的【解析】式为 又,故D错误. 故选BC. 【例3】(多选题)若函数,则（ ） A.是周期函数 B.在上有4个零点 C.在上是增函数 D.的最小值为 【答案】 【解析】对于,函数不是周期函数,故A错误. 对于 令,在上,求得,,故B正确. 对于,当时, 由于,所以且,故在上单调递增,故C正确. 对于,当时,由于, 当时,,故D错误. 故选BC. 【例4】已知函数(为常数)的图象的一条对称轴为直线,若,且满足在区间上是单调函数,则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为直线是图象的对称轴, 所以, 化简可得,即, 所以. 由,可得. 因为在区间上是单调函数, 又由对称性得,所以. 当时,取得最小值, 故答案为. 【例5】(多选题)已知函数,将图象上所有点向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.若为偶函数,且最小正周期为,则（ ） A.的图象关于点对称 B.在上单调递增 C.在上有且仅有3个解 D.在上有且仅有3个极大值点 【答案】AC 【解析】将函数图象上所有点向左平移个单位长度,可得的图象, 再将横坐标缩短为原来的,可得的图象. 函数的最小正周期为,即,解得,可得, 又为偶函数,则, 即,当时,可得, 所以. 令,即,当时,, 即函数的图象关于点对称,所以A正确. 当时,, 可知在区间上不是单调函数,所以B不正确. 由,可得, 即, 从而,即. 又,得, 所以在上有且仅有3个解,故C