第6讲 幂指对函数 讲义-2023届高考数学二轮复习

第6讲 幂指对函数 典型例题 【例1】已知函数且在区间上单调递 增,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【例2】(多选题)已知函数,则下列结论中正确的为（ ） A.的图象关于原点对称 B.的图象关于轴对称 C.的值域为 D.对于,恒成立 【例3】(多选题)定义运算设函数,则下列命题中正确的为( ) A.的值域为 B.的值域为 C.使不等式成立的的取值范围是 D.使不等式成立的的取值范围是 【例4】若函数 的图象如图所示, 则下列说法 中正确的是（ ） A. B. C. D. 【例5】已知 , 且 , 则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【例6】渔民出海打鱼, 为了保证运回的鱼的新鲜度 (以鱼肉内的三甲胺的多少来确 定鱼的新鲜度, 三甲胺是由细菌分解产生的, 三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降, 鱼开始变质, 进而腐败), 鱼被打上船后, 要在最短的时间内将其分拣, 冷藏. 已知某种鱼失去的新 鲜度 与其出海后的时间 (单位: ) 满足的函数关系式为 , 出海后 这 种鱼失去的新鲜度为 , 出海后 这种鱼失去的新鲜度为 , 若不及时处理, 打 上船的这种鱼大约经过多长时间刚好失去 的新鲜度? (参考数据: )（ ） A. B. C. D. 【例7】设函数 若关于 的方程 恰有 6 个不同的实数根, 则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【例8】已知函数 , 若 在 上为减函数, 则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【例9】 (多选题) 设函数 若实数 满足 , 且 , 则下列结论中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【例10】 已知函数 是定义在 上的奇函数. (1) 求 的值; (2) 若对任意的 , 都有 恒成立, 求 的取值范围. 【例11】 (多选题)下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【例12】 (多选题) 设 都是正数, 且 , 则下列结论中正确的为（ ） A. B. C. D. 【例13】已知 , 设 , 则（ ） A. B. C. D. 【例14】 有三个实数根, 则实数 的取值范围是 . 【例15】 若存在实常数 和 , 使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 , 都满足 和 , 则称直线 为 和 的 “分隔直 线”. 已知函数 , 若 和 之间存在 “分隔直 线”, 则实数 的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 幂指对函数 典型例题 【例1】已知函数且在区间上单调递 增,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递减且恒成立,所以解得; 当时,由复合函数的单调性知函数在上单调递增且恒成立,所以解得. 综上,的取值范围为或.故选C. 【例2】(多选题)已知函数,则下列结论中正确的为（ ） A.的图象关于原点对称 B.的图象关于轴对称 C.的值域为 D.对于,恒成立 【答案】ACD 【解析】对于,则, 则为奇函数,其图象关于原点对称,故正确. 对于,故的图象不关于轴对称,故B错误. 对于, 令, 则有,易知,即的值域为,故正确. 对于, 在上为增函数,为上的减函数, 由复合函数的单调性可得在上单调递减, 故对,且恒成立,故D正确. 故选ACD. 【例3】(多选题)定义运算设函数,则下列命题中正确的为( ) A.的值域为 B.的值域为 C.使不等式成立的的取值范围是 D.使不等式成立的的取值范围是 【答案】AC 【解析】由函数,有即 作出函数的图象,如图. 根据函数图象知的值域为正确. 若不等式成立,则,即成立, 或即成立.所以正确. 故选AC. 【例4】若函数 的图象如图所