第4讲 等差数列及其前n项和 讲义-2023届高考数学二轮复习

第4讲 等差数列及其前n项和 知识与方法 等差数列的概念、通项公式及前项和公式主要突出方程思想,通过构建内蕴方程,获取方程(组),强调基本量之间的等量关系. 等差数列及其前项和的性质主要突出函数思想,强调与一次函数、二次函数的关系,并对常用性质进行归纳总结. 一、基本公式 1.通项公式:. 2.等差中项:. 3.求和公式:. 二、常用性质 1.在等差数列中,若,则. 2.若数列是公差为的等差数列,则也是等差数列,且公差为. 3.若等差数列的公差为,则数列为递增数列;数列为常数数列;数列为递减数列. 4.若等差数列的前项和为,则(1)数列是等差数列;(2)也是等差数列. 三、易错警示 1.利用通项公式的特征可以判断一个数列是否为等差数列,但不宜用于证明. 2.运用等差数列性质解题时要注意限制条件. 3.解决问题时,一定要弄清首项、项数等关键要素. 典型例题 【例1】 已知等差数列中,,则______. 【例2】已知等差数列中,,则______. 【例3】中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金篳,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金笎,长5尺,一端粗一端细.在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤.问依次每一尺各重几斤?"”根据已知条件,若金笮由粗到细是均匀变化的,则中间3尺的质量为______. 【例4】已知两个等差数列的通项公式分别为和,若这两个数列的公共项由小到大排列构成新的数列,则它的通项公式为______. 【例5】已知等差数列的公差为,前项和为.若数列也是公差为的等差数列,则数列的通项公式______. 【例6】(多选题)在数列中,若为常数),则称为“等方差数列”.以下四个命题中正确的为（ ） A.数列是“等方差数列”; B.若为“等方差数列”,则是等差数列; C.若为“等方差数列”,则为常数)也是“等方差数列”; D.若既是“等方差数列”,又是等差数列,则该数列为常数数列. 【例7】已知等差数列中,.若存在正整数,满足时有成立,则______. 【例8】已知二次函数有两个不同的零点,若0有四个不同的根,且成等差数列,求的取值范围. 【例9】已知等差数列共有19项,若记前19项中的奇数项和为、偶数项和为,则______. 【例10】已知等差数列的前项和分别为,若,则______. 【例11】已知等差数列的前项和为，若，， 则当 时,取得最大值. 【例12】已知等差数列的前项和为,若,则 . 【例13】已知等差数列的前项和为,若,则 . 【例14】已知数列的前项和为,若成等差数列,且,则的最大值为 , . 【例15】已知等差数列的前项和为,满足.求: (1)数列的通项公式; (2)数列的前项和. 强化训练 1. 已知等差数列中,,则过点的直线的斜率为______. 2. 已知数列满足,且,则______. 3. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,其所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称之为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为,则该数列的第9项为______. 4. 在两个等差数列和中,它们的公共项个数为______. 5. 已知等差数列的首项,公差为,前项和为.若数列也为等差数列,则数列的通项公式______. 6.(多选题)若数列满足:对任意的正整数为递减数列,则称数列为“差递减数列”.给出下列数列,其中为“差递减数列”的有 （ ） A. B. C. D. 7.已知等差数列的各项均为正整数,若,则正整数的最小值是______. 8.若关于的方程和的四个根可组成首项为的等差数列,则______. 9.已知一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为,则该数列的公差为______. 10.已知等差数列的前项和分别为,若,则(1) ;(2)使得为整数的正整数的个数是 . 11.设等差数列的前项和为,若,则时 . 12.已知等差数列的前20项和为200,前200项和为20,则数列的前100项和为 . 13.已知无穷数列的前项和为,公差,若对于一切正整数都有成立,则该数列的首项 ,公差 . 14.已知等差数列和满足,若这两等差数列的公差相等且不等于零,并且存在正整数,使得是整数,则的最小值为 . 15.已知在等差数列中,,则数列的前100项和为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲