专题01 盘点求数列前n项和的五种方法-备战2023年高考数学二轮复习《方法与题型》讲解专训（新高考专用）

2023高考二轮复习讲与练 专题01 盘点数列求和的五种方法 公式法求和 盘点数列求和的五种方法 错位相减法求和 分组法求和 并项法求和 裂向相消法求和 典例讲解 类型一、公式法求和 1．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的律学家，历学家、音乐家.朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是，如果音阶中第一个音的频率是，那么第二个音的频率就是，第三个单的频率就是，第四个音的频率是，……，第十二个音的频率是，第十三个音的频率是，就是.在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音的频率之和为（ ） A. B. C. D. 2．等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 (　　) A． B． C． D． 3．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 4．已知数列的前项和为，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 类型二、错位相减法求和 1.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是25－65n万元，则n的值为(　 ) A．7　　　 B．8　　　　C．9　　　　D．10 2. 设数列的前项和为，为等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 3．已知数列是等比数列，，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 类型三、裂项相消法求和 1．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则等于（ ） A． B． C． D． 2.在数列中,,则的前项和 . 3. 已知等差数列是递增数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若()，求数列的前项和. 4.已知是数列的前项和，满足. （1）求的通项公式；（2）求数列的前项和. 类型四、分组法求和 1．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　) A．1 121　　　　　　　　 B．1 122 C．1 123 D．1 124 2．已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）． 3. 设是公比大于的等比数列，其前项和为，是公差为的等差数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 4. 已知数列满足，． （1）记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和． 类型五、并项法求和 1.已知数列的通项公式是，则（ ） A. B. C. D. 2．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（ ） A．12 B．21 C．11 D．31 3.已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)若,求数列的前项和. 巩固练习 1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 2．已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3．已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为（ ） A．32 B．43 C．34 D．35 4．数列中，，，，则的前n项和 . 5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 6．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则Sn＝________，数列{SnSn＋1}的前n项和Tn为________． 7．数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，bn＝，则数列{bn}的前n项和为Sn＝________. 8．已知数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn<a2－a恒成立，则实数a的取值范围是________________． 9．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸