精品解析：吉林省长春市第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题

2023届高三年级第四次调研测试（数学）科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C. 平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 D. 若，，，则 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ） A. 3 B. C. D. 6 6. 阅读下面材料，完成本题． 材料：初等数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．如果算式中，则整除，记作（其中a，b，q，r均为整数）．若整数与整数分别除以整数，所得余数相同，则称与模同余，记作，设是与的最大公因数．我们把形如的方程称为关于的一次同余方程，该方程有解的充分必要条件是．据此，请完成：若关于的一次同余方程有解，则的值可以为（ ） A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，，点是平面内一个动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，若与共线，则下列说法错误的是（ ） A. 将的图象向左平移个单位得到函数的图象 B. 函数的最小正周期为 C. 直线是的一条对称轴 D. 点是的一个对称中心 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，A，B是上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 的方程为 B. 若，则 C. 若直线经过点，则以线段为直径的圆与轴相切 D. 若，则直线的斜率为 12. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数在上为减函数 B. 当时， C. 若方程有2个不相等的解，则的取值范围为 D. ， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 数列满足，当______时，最小． 14. 设是定义在上奇函数，且，又当时，，则的值为______. 15. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的直线方程为______. 16. 平面二次曲线方程的一般形式为．已知曲线表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆上，则该矩形面积的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）若函数在存在零点，求实数的取值范围． 18. 如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转至，． （1）求旋转所得旋转体体积和表面积； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在中，内角的对边分别为，. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线的长. 20. 已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 21. 已知平面上一动点到距离与到直线的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 22. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届高三年级第四次调研测试（数学）科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求出，从而求出补集. 【详解】，解得：，所以， 因为，所以． 故选：D 2. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，进而可得答案. 【详解】由双曲线可得 ， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：B 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的定义和性质判