第4讲 恒成立问题 讲义-2023届高考数学二轮复习导数新方法

第4讲 恒成立问题 知识与方法 函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题，此类问题通常有一定难度，它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法，即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，而常用的具体解题思路通常有以下几种． (1)首选分离参数，变为不含参数的定函数最值的求解．这是一种最基本的处理方式，分离参数后，处理不含参数的函数，将问题转化为函数的最值或值域求解．不过需要注意的是，现在很多问题往往增加了难度，参变分离后的函数往往比较复杂，单调性及最值难以求解，或出现型、型，必须要用洛必达法则求解，而很多省份考试中不得使用．另外还有些【例 】无法分离参数，但是无论如何，分离参数是一种常见的首选方法． (2)不分离参数，直接处理，或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好)，进行求导，分析函数的单调性和最值，这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导，将与其他函数结合，单独处理，可以减少计算量． (3)必要性探路．很多复杂问题直接求解比较困难，可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值，代人原式，求出参数的初步范围，得到原式成立的一个必要条件，接下来有两种可能情况：(1)若该范围就是最终的答案，则再证明充分性即可；(2)若该范围还不是最终的结果，则在该范围的基础上再作分类讨论研究，可以大大节省讨论量，节省思维分析和计算的时间． (4)同构处理，构造函数．最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形，变为相同结构的表达式，常用的等式有，，将不等式两边变为相同的结构进行处理，结合函数单调性再研究． (5)半分离参数，结合函数的凹凸性，将问题变为动直线与定曲线的关系，利用数形结合进行研究，这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识，将解题变得更加严密． 典型例题 【例1】已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【例2】已知函数，若，求实数的取值范围． 【例3】已知，且恒成立，则的最大值为________． A、 B、 C、 D、 【例4】已知恒成立，则的取值范围是_______，的取值范围是_______． 【例5】 设是函数的一个极值点． (1)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间； (2)设，若存在，使得成立，求的取值范围． 【例6】 已知函数(为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值及函数的极值； (2)求证：当时，； (3)求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有． 【例7】已知函数满足． (1)求函数的解析式及单调区间； (2)若，求的最大值． 【例8】 设函数． (1)若为的极值点，求实数； (2)求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立． 【例9】 已知函数． (1)若在上的最大值和最小值分别记为，求； (2)设，若对一切恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 恒成立问题 知识与方法 函数导数中有很多恒成立、存在成立或有解的参数范围的求解问题，此类问题通常有一定难度，它几乎涉及了高中数学的全部四种思想方法，即转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，而常用的具体解题思路通常有以下几种． (1)首选分离参数，变为不含参数的定函数最值的求解．这是一种最基本的处理方式，分离参数后，处理不含参数的函数，将问题转化为函数的最值或值域求解．不过需要注意的是，现在很多问题往往增加了难度，参变分离后的函数往往比较复杂，单调性及最值难以求解，或出现型、型，必须要用洛必达法则求解，而很多省份考试中不得使用．另外还有些【例 】无法分离参数，但是无论如何，分离参数是一种常见的首选方法． (2)不分离参数，直接处理，或移项构造新函数(若能因式分解约掉一部分则最好)，进行求导，分析函数的单调性和最值，这其中可能涉及隐零点、分类讨论、二次求导，将与其他函数结合，单独处理，可以减少计算量． (3)必要性探路．很多复杂问题直接求解比较困难，可以考虑先取区间内某一个或某几个特殊值，代人原式，求出参数的初步范围，得到原式成立的一个必要条件，接下来有两种可能情况：(1)若该范围就是最终的答案，则再证明充分性即可；(2)若该范围还不是最终的结果，则在该范围的基础上再作分类讨论研究，可以大大节省讨论量，节省思维分析和计算的时间． (4)同构处理，构造函数．最常见的是通过对数恒等式等方法对原式进行恒等变形，变为相同结构的表达式，常用的等式有，，将不等式两边变为相同的结构进行处理，结合函数单调性再研究． (5)半分离参数，结合函数的凹凸性，将问题变为动直线与定曲线的关系，利用数形结合进行研究，这里通常要涉及函数的凹凸性和拐点等知识，将解题变得更加严密． 典型例题 【例1】已知函数． (1)当时，讨