第7讲 利用必要条件求参数问题 讲义-2023届高考数学二轮复习导数新方法

第7讲 利用必要条件求参数问题 知识与方法 在恒成立问题中,当直接讨论求解很麻烦时,经常利用特殊的函数值恒成立,解得参数的范围,使参数范围缩小,从而减少讨论量,使解题变得简洁. 有一类恒成立问题常常有某一参数为整数的条件,求该参数的最值.解决这一类问题亦可以通过必要探路法,合理赋值寻找必要条件,由必要条件可以求出参数的大致范围,进而确定参数的整数最值,之后再证明这一最值是正确的.这种做法相比隐零点的做法过程更简捷,但需要对常见的函数不等式比较熟悉,处理起来比较灵活. 典型例题 【例1】设函数 (1) 若,求函数的最大值; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 【例2】函数,其中. (1)讨论的单调性; (2)证明:当时,; (3)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立. 【例3】已知,函数的导函数为. (1)求函数在处的切线方程; (2)若函数存在极值,求的取值范围; (3)若当时,恒成立,求的最大值. 【例4】已知函数 (1)对于任意恒成立,求的取值范围; (2)对于任意,求的取值范围. 【例5】已知. (1)求证:; (2)已知是正整数,求使得恒成立的的最大值. 【例6】已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若,求的取值范围. 【例7】已知函数,其中.若在上恒成立,当取得最大值时,求的最小值. 【例8】设函数. (1)若为的极值点,求实数的值; (2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立. 注:为自然对数的底数. 【例9】已知函数为的导数. (1)求证:在区间上存在唯一零点; (2)当时,,求实数的取值范围. 【例10】 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 利用必要条件求参数问题 知识与方法 在恒成立问题中,当直接讨论求解很麻烦时,经常利用特殊的函数值恒成立,解得参数的范围,使参数范围缩小,从而减少讨论量,使解题变得简洁. 有一类恒成立问题常常有某一参数为整数的条件,求该参数的最值.解决这一类问题亦可以通过必要探路法,合理赋值寻找必要条件,由必要条件可以求出参数的大致范围,进而确定参数的整数最值,之后再证明这一最值是正确的.这种做法相比隐零点的做法过程更简捷,但需要对常见的函数不等式比较熟悉,处理起来比较灵活. 典型例题 【例1】设函数 (1)若,求函数的最大值; (2)若恒成立,求实数的取值范围. 【分析】(1)由单调性可得的最大值;(2)恒成立问题,作差后构造函数,再对分类讨论;若的讨论种数很多,常见的方法是特殊值求必要条件,如令,则,解得,从而使讨论种数变少. 【解析】(1),则. 所以当时,在上递增, 当时,在上递减, 从而函数的最大值为. (2)方法一 设,则, ①若,由于,不符合题意. ②若,因为,设, 则. 对于方程,其判别式, (i)若,则,所以,推出即递增. 因为,则当时,递减, 当时,递增, 从而成立. (ii)若,方程有两根, 因为,则, 当时,有,推出即递减, 于是在上递减, 从而在上得到,不符合题意,舍去. (iii)若,因为, 而是当的表达式, 根据刚才当的解题过程可知,, 所以成立. 综上,的取值范围是. 方法二 若,令,则,不符合题意. 故只需考虑的情况. 由已知,,可转化为. 设,则. 设,则. 设,则. 易知即在上递增,在上递减, 从而. ①当时,,于是递减,即递减, 由于,所以当时,,函数递增, 当时,,函数递减, 所以成立. ②当时, 因为, 则在区间内存在,使得, 由于在上递增, 所以当时,,则即递增, 因为,所以当时,递减, 于是在上,,与题意不符. 综上,的取值范围是. 【点睛】第(2)小题中,先用特殊值否定,再根据端点值讨论时的单调性. 【例2】函数,其中. (1)讨论的单调性; (2)证明:当时,; (3)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立. 【分析】作差构造函数,利用,对与分类讨论. 【解析】(1)的定义域为, 当时,在上单调递减; 当时,令,得, 所以在上单调递减,在上单调递增. (2),令,则, 当时,在上单调递增, 所以. (3)令， 则, 要使在上恒成立,必须，即, 否则,存在,当时,,则,矛盾. 当时,由(2)得,, 则, 所以在上单调递增,, 综上所述,. 【点睛】分类讨论是恒成立求参数的常见方法,此类【例】隐含,常见的是对(1)的正负分类讨论. 【例3】已知,函数的导函数为. (1)求函数在处的切线方程; (2)若函数存在极值,求的取值范围; (3)若当时,恒成立,求的最大值. 【分析】对参数分类讨论,恒成立问题,隐含,对的正负分类讨论. 【解析】(1), 因为,故所求切线方程为. (2), (1)当时,不存在极值; (2)当时,在上递增,且,