第10讲 拟合函数和切割线 讲义-2023届高考数学二轮复习导数新方法

第10讲 拟合函数和切割线 知识与方法 拟合函数的常见特点：单调性（变化趋势）与原函数相同；极值点及其对应的函数值相等；在研究的区间内，函数凹凸性相同．常用二次函数或三次函数拟合，有时候也会用切线与割线来拟合． 典型例题 【例1】已知函数，若有两个不同的极值点，，且． （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【例2】已知函数其中. (1)讨论的单调性; (2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证对于任意的正实数,都有; (3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证. 【例3】已知函数f（x）=x（1一lnx）。 (1)讨论的单调性; (2)设为两个不相等的正数,且,证明. 【例4】已知函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数。 (1)若曲线与直线有交点,求的最小值; (2)(1)设,问是否存在最大整数,使得对任意正数都有成立?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由; (2)若曲线与直线有两个不同的交点,求证 【例5】已知函数，若方程有两个根，且． （1）求的取值范围； （2）求证：． 【例6】已知. (1)求. 在点处的切线方程; (2)若有两个不等实数根,且,证明. 【例7】已知,若,求证. 【例8】已知,函数,方程有两个解. (1)证明; (2)证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 拟合函数和切割线 知识与方法 拟合函数的常见特点：单调性（变化趋势）与原函数相同；极值点及其对应的函数值相等；在研究的区间内，函数凹凸性相同．常用二次函数或三次函数拟合，有时候也会用切线与割线来拟合． 典型例题 【例1】已知函数，若有两个不同的极值点，，且． （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【分析】 （1）常规问题，分离变量即可；（2）利用函数的单调性，使得问题转变成的正负问题；（3）利用函数拟合来解决两根差的问题． 【解析】 （1）由题意得，所以的两根为，， 记， 则，为方程的两个不同实根，， 即在上递增，在上递减，且当时，，当时，； 当时，；最大值为， 所以，且． （2）因为在上为减函数，所以要证，只需证，即， 方法一 只需证在上成立， 因为， 所以在上递增，， 所以，即成立．得证． 方法二 只需证，由得，成立，故原命题成立． （3）引理：不等式在上成立， 所以，， 且在上递增，上递减， 令，为方程，即的两个实根， 其中 由于，即， 所以 ，得证． 【点睛】 利用拟合函数求解两根差问题是常用的方法．此题构造函数，利用方程的两根与的两根，的关系求解． 【例2】已知函数其中. (1)讨论的单调性; (2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证对于任意的正实数,都有; (3)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证. 【分析】(1)常规方法求函数单调区间,(2)作差构造函数,求最值来证明函数不等式;3.利用在点处与点处的切线来估计两根的大小. 【解析】(1). 下面分两种情况讨论 (1)当为奇数时,令,解得或, 当变化时,的变化情况如下表. 所以,在上单调递减,在内单调递增. (2)当为偶数时, 当,即时,函数单调递增; 当,即时,函数单调递减. 所以在上单调递增,在上单调递减. (2)设点的坐标为,则, 曲线在点处的切线方程为,记, 令,即,则. 由于在上单调递减,故在上单调递减. 又因为,所以当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减, 所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数,都有. (3)不妨设,由(2)知, 设方程的根为,可得. 当时,在上单调递减, 又由(2)知,可得.类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当时,,即对任意. 设方程的根为,可得, 因为在上单调递增, ,因此. 由此可得. 又因为,所以,故. , 所以. . 【点睛】利用切线拟合证明两根差问题,是常用方法. 【例3】已知函数f（x）=x（1一lnx）。 (1)讨论的单调性; (2)设为两个不相等的正数,且,证明. 【分析】构造同构函数,再换元,构造对称函数来证明,用构造切线与割线来证明. 【解析】(1)函数的定义域为, 又，当时,,当时,, 故的递增区间为,递减区间为. (2)因为,故,即. , 故. 设,由(1)可知不妨设. 要证,只需证明. 因为当时,,当时,, 故. 先证,只需证. 因为在上为增函数,在上减函数, 下面证明. 设, 则, 故在上为减函数,故, 所以,则, 所以,即得. 下面用函数拟合法证明. 设, (1)当时,因为, 所以成立, (注就是函数的一条过原点与最高点的割线) 所以. (2)当时,, (注在处的切线) 记, 所以当时,所以为增