第11讲 指对数不等式综合 讲义-2023届高考数学二轮复习导数新方法

第11讲 指对数不等式综合 知识与方法 由与的导数的特点,解题时往往把的系数变成常数,而指数型则可直接求导.常见的指对数不等式放缩有. 典型例题 【例1】当时,恒成立,求实数的取值范围. 【例2】是否存在正整数m，当x（0，十∞）时，恒成立？若存在，求出m的最大值;若不存在,说明理由. 【例3】当时,恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知x>0，证明：. 【例5】已知x≥0，证明. 【例6】当x≥0时，求证： 【例7】已知函数. (1)若,且曲线在处的切线过原点,求的值及的方程; (2)若函数在上有零点,求实数的取值范围. 【例8】已知,函数有最小值,求的值域. 【例9】已知函数 (1)讨论的单调性; (2)当时,讨论在上的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 指对数不等式综合 知识与方法 由与的导数的特点,解题时往往把的系数变成常数,而指数型则可直接求导.常见的指对数不等式放缩有. 典型例题 【例1】当时,恒成立,求实数的取值范围. 【分析】由于直接作差求导,导函数零点很难求,所以需要变形,常见的变形是将单独出现,故已知条件两边除以后,构造函数可证. 【解析】原不等式,令, 由,得, , 所以在上递减,在上递增, 所以,解得. 【点睛】在不等式关系中,将原不等式变形是常见的方法,变形原则是变形后的新函数的导函数变得简单,易判断单调性. 【例2】是否存在正整数m，当x（0，十∞）时，恒成立？若存在，求出m的最大值;若不存在,说明理由. 【分析】先由特殊值得到整数的范围,再把的系数变成常数求解. 【解析】当时,,因为是正整数,所以或. 下面证明满足题意. 当时,. 令,则, 易证,所以在上单调递减,在上单调递增, 所以, 所以当时,原不等式恒成立,所以的最大值为2. 【点睛】(1)先两边除以,孤立,再构造函数可证;(2)若采用变量分离,则得,难以处理;整数解最值问题常见的解决方法先取特殊值求必要条件,再验证某一个整数符合条件即可. 【例3】当时,恒成立,求实数的取值范围. 【分析】直接求导,导函数零点不容易求,故需要变形,不等式两边除以孤立后,构造函数可证. 【解析】方法一当时,,令,则,且, (1)当时,,所以,所以在上单调递增,所以,命题成立. (2)当时,令,得,由及得, 当时,在上单调递减,,命题不成立.综上所述,. 方法二当时,, 由对数平均不等式得,即. 又由洛必达法则得, 所以. 【点睛】(1)方法一是把的系数变成常数构造函数,从而使求导及单调性判断较为简单;(2)方法二是分离参数后,利用对数平均不等式(应先证明)求最值,还应用了洛必达法则,应慎重选择. 【例4】已知x>0，证明：. 【分析】本题是指数与对数的混合题,也可把的系数变成常数解决问题,但需虚设极值点;或者寻证加强不等式,不等式两边分别求最小值和最大值;或者利用对数恒等式、对数不等式结合待定系数法可证. 【解析】方法一令,则, ,所以在上单调递增. 又 所以,且当时,,当时,,所以,得证. 方法二,(注为了能求最值,不等式两边必须不单调.)易证,当且仅当时取等号. 令,则, 所以当时,,当时,, 所以,命题得证. 方法三取实数,则, 所以,令,则,得证. 【点睛】指数与对数的混合题的常见解法如下 (1)把的系数变成常数构造函数,从而使求导及单调性判断较为简单; (2)分离对数与指数,然后寻证加强命题,不等式两边分别求最小值和最大值而得证; (3)直接利用指数不等式或对数不等式求解. 【例5】已知x≥0，证明. 【分析】由指数函数的求导特点,采用构造复合指数函数的策略. 【解析】方法一原不等式,令, 则, 所以在和上递减,在上递增, 所以,得证. 方法二原不等式,令, 所以 所以在上递减,在上递增, 所以,得证. 【点睛】(1)方法一比较自然,是首选;方法二并不常规,不容易想到; (2)若令,则,需二阶导数才能解决; (3)构造复合指数函数的策略是式子变形的常见方法. 【例6】当x≥0时，求证： 【分析】若直接求导,导函数零点不容易求,故需要对原不等式变形,采用构造复合指数函数的策略. 【解析】原不等式,令, 则, 所以在上单调递减,所以,得证. 【点睛】(1)若令,则很难完成; (2)构造复合指数函数的策略,是式子变形的常见方法; （3）也可得,当时,. 【例7】已知函数. (1)若,且曲线在处的切线过原点,求的值及的方程; (2)若函数在上有零点,求实数的取值范围. 【分析】第(1)小题是切线问题,属于基础题;第(2)小题分两种方法,孤立对数函数或变量分离. 【解析】(1)若,则, 所以的斜率,解得, 于是的方程为. 方法一(分类讨论) 由题意,方程在上有实根, 即方程在上有实根. 令, 则. (1)当或,即或时,在上单调, 则,