第3讲 含参数的一元二次不等式问题 讲义-2023届高考数学二轮复习不等式与数列精讲精练

第3讲 含参数的一元二次不等式问题 知识与方法 含参数的一元二次不等式问题主要体现分类讨论和转化与化归的思想. 分类讨论思想的主要应用就是对二次项系数、对应方程是否有根及根的大小等进行讨论;转化与化归思想的应用就是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相互转化. 一、三个“二次”的相互关系 二、解含有参数的一元二次方程的步骤 1.若二次项含有参数,应先讨论二次项系数大于0、等于0还是小于0,然后整理不等式; 2.若二次项系数不为0时,讨论判别式与0的关系,判断对应方程的根的个数; 3.确定无根时直接写出解集,确定方程有两个根时,讨论两个根的大小关系,从而确定解集的形式. 三、易错警示 1.分类讨论时要做到不重不漏. 2.只有一元二次不等式才有相应判别式的研究. 3.“大于取两边、小于取中间”的口诀用于相应的二次函数开口向上,并与轴相交的时候. 25更高更妙的百题讲坛高中数学(不等式与数列)、 典型例题 【例1】解关于的不等式:. 【例2】已知不等式的解集为,则不等式的解集为_______. 【例3】若不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是_______. 【例4】 若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_______. 【例5】若不等式在有解,则实数的取值范围是_____. 【例6】已知不等式的解集为,则_____. 【例7】已知 , 若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有两个,则这两个整数解的和是_____. 【例8】已知关于的方程在上有两个根,则的取值范围是_____. 强化训练 1. 解关于的不等式:. 2. 已知关于的不等式的解集为,则_______. 3. 知代数式对一切实数恒有意义,则实数的取值范围是_______. 4. 已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围是_______. 5. 已知关于的不等式在实数集上有解,则实数的取值范围为_____. 6. 已知函数在区间上的最小值为,最大值为,则_____. 7. 若关于的不等式的解集中有无限个整数解,则实数的取值范围是_____. 8.已知关于的方程在上有两个根,则的取值范围是_____. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 含参数的一元二次不等式问题 知识与方法 含参数的一元二次不等式问题主要体现分类讨论和转化与化归的思想. 分类讨论思想的主要应用就是对二次项系数、对应方程是否有根及根的大小等进行讨论;转化与化归思想的应用就是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的相互转化. 一、三个“二次”的相互关系 二、解含有参数的一元二次方程的步骤 1.若二次项含有参数,应先讨论二次项系数大于0、等于0还是小于0,然后整理不等式; 2.若二次项系数不为0时,讨论判别式与0的关系,判断对应方程的根的个数; 3.确定无根时直接写出解集,确定方程有两个根时,讨论两个根的大小关系,从而确定解集的形式. 三、易错警示 1.分类讨论时要做到不重不漏. 2.只有一元二次不等式才有相应判别式的研究. 3.“大于取两边、小于取中间”的口诀用于相应的二次函数开口向上,并与轴相交的时候. 25更高更妙的百题讲坛高中数学(不等式与数列)、 典型例题 【例1】解关于的不等式:. 【分析】 根据的情况确定不等式类型,然后按照相应类型进行求解. 【解析】(1)当时,不等式恒成立,不等式解集为; (2)当时,,不等式解集为; (3)当时,, 若,即时,不等式解集为; 若,即时,不等式解集为; 若,即时,不等式解集为. 综上所述，当时,不等式解集为; 当时,不等式解集为;当时,不等式解集为; 当时,不等式解集为. 【点睛】 解含参数的不等式,应先确定不等式的类型,再求解. 【例2】已知不等式的解集为,则不等式的解集为_______. 【分析】 根据已知一元二次不等式的解集,可得二次项系数的符号和对应一元二次方程的实根,然后运用韦达定理解决问题. 【解析】解法1：由题意知,是方程的两个正根,且, 所以且,所以即是方程的两个根. 因为,所以不等式的解集为. 解法2： 由得,所以不等式的解集为. 【点睛】 一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. 【例3】若不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是_______. 【分析】 此题是一元二次不等式在实数集上的恒成立问题,只需对应的一元二次函数的图象始终落在轴上方,转化成二次函数图象问题;或直接转化成最小值大于零的问题;或变量分离后转化成求函数的最大值. 【解析】解法1：当时,不等式显然不成立, 所以要使关于的一元二次不等式对一切恒成立,由二次函数图象知,只需 故. 解法2：由题意知,所以只需. 故. 解法3：由题意知对一切恒成立, 令,则转化成求函数的最大值问题. , 所以在上递增,在上递减. 因为