第9讲 数列的其他综合问题 讲义-2023届高考数学二轮复习不等式与数列精讲精练

第9讲 数列的其他综合问题 知识与方法 数列是特殊的函数,因此一些数列具有函数的性质.周期性和单调性是数列中常用的性质,若能在题干中发现这些性质,那么对于解答问题会有事半功倍的效果. 一、基本性质 1.单调性若对任意的正整数都有,则数列是递增数列;若对任意的正整数都有,则数列是递减数列. 2.周期性对于数列,如果存在确定的正整数及,使得对一切正整数,恒有,则数列是从第项起周期为的周期数列. 二、易错警示 数列是不连续的特殊函数,注意考虑正整数范围内. 典型例题 【例1】已知数列满足若1,则的值为__________. 【例2】已知数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【例3】已知数列的通项公式为,则数列的最大项为第________项. 【例4】已知数列满足(为正整数),则的所有可能的取值为__________. 【例5】（多选题）已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B.数列单调递增 C. D. 【例6】已知数列中，且，若，对于一切恒成立，则的取值范围为__________. 【例7】在①,②,③成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件,补充在下面的问题中,并求解. 已知数列中,,公差不等于0的等差数列满足______，_____， 求数列的前项和. 【例8】已知数列的通项公式为,问是否存在正整数,使得对一切恒成立?若存在,请求出的最大值;若不存在,请说明理由. 强化训练 1. 已知数列满足,则________. 2. 已知,若数列为递减数列,则实数的取值范围是_________. 3. 若数列中的最大项是第项,则________. 4. 已知数列的通项公式为,若,则的最大值为_________ 5. (多选题)已知数列中,,记数列的前项和为,则的取值可能是（ ） A. B. C. D.2 6.已知数列满足,且对任意有,则的取值范围是-________. 7.在①,②为等差数列,其中成等比数列,③这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,然后解答补充完整的题目. 已知数列中,,____________ (1)求数列的通项公式; (2)设为数列的前项和,求证. 8.已知数列的通项公式为,其前项和为.若,且对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 数列的其他综合问题 知识与方法 数列是特殊的函数,因此一些数列具有函数的性质.周期性和单调性是数列中常用的性质,若能在题干中发现这些性质,那么对于解答问题会有事半功倍的效果. 一、基本性质 1.单调性若对任意的正整数都有,则数列是递增数列;若对任意的正整数都有,则数列是递减数列. 2.周期性对于数列,如果存在确定的正整数及,使得对一切正整数,恒有,则数列是从第项起周期为的周期数列. 二、易错警示 数列是不连续的特殊函数,注意考虑正整数范围内. 典型例题 【例1】已知数列满足若1,则的值为__________. 【分析】 求出前几项,找出数列的周期. 【解析】 因为, 所以周期为2, 所以. 故. 【点睛】 1.通过求出前几项的值,观察数列周期,是一种常用方法. 2.一些重要的周期数列结论 (1)若数列满足(为常数),则数列是周期为的周期数列. (2)若数列满足为常数,,则数列是周期为的周期数列. (3)若数列满足,则数列是周期为的周期数列. (4)若数列满足,则数列是周期为的周期数列. 【例2】已知数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【分析】 保证每一段数列都是递增数列,同时要注意临界点. 【解析】 因为是递增数列,所以解得. 故实数的取值范围是. 【点睛】 若对任意的正整数都有,则数列是递增数列;若对任意的正整数都有,则数列是递减数列. 【例3】已知数列的通项公式为,则数列的最大项为第________项. 【分析】 解决最大项问题一般考虑单调性. 【解析】解法1：因为, 所以当时,;当时,, 即, 故数列的最大项为第4项. 解法2：设数列中的最大项为,则 即解得. 因为,所以. 故数列的最大项为第4项. 【点睛】 (1)利用数列的单调性求最大项或最小项; (2)求数列中的最大项，只需满足求数列中的最小项，只需满足 【例4】已知数列满足(为正整数),则的所有可能的取值为__________. 【分析】 从条件倒推,逐一检验是否正确. 【解析】若为偶数,则,所以; 若为奇数,则,所以(舍). 若为偶数,则,所以； 若为奇数,则,所以. 当时,若为偶数,则,所以； 若为奇数,则,所以(舍)； 若为偶数,则,所以； 若为奇