专题17 二次函数与等角存在性问题-2023年中考数学重难点题型之二次函数（全国通用）

专题17 二次函数与等角存在性问题 解题点拨 除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键． 【基本定理】 回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下： （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角． 想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~ 直击中考 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（黑龙江中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴，y轴分别交于点A，B点，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)将绕坐标原点O顺时针旋转，点C的对应点为点，点是否落在抛物线上？说明理由． (3)P为抛物线上直线上方的一点，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (4)点D在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．已知：抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点 (1)求抛物线的解析式的一般式； (2)若抛物线第一象限上有一点P，满足，求P点坐标； (3)直线与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求的面积． 5．如图1，抛物线与轴交于点（在的左边），与轴交于点，且．若直线与轴、轴分别交于点和点，直线交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内的抛物线上是否存在一点，使，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； (3)对于直线上一点，若过点总有一条直线（不和直线重合）交抛物线于两点（在的左边），使成立，求的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为抛物线上一点，，求点M的坐标； (3)若P为线段AB上一点，，求点P的坐标； 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的正切值； (3)点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 8．如图，二次函数的图象经过点，，，直线与轴、轴交于点D，E． (1)求该二次函数的解析式 (2)点M为该二次函数图象上一动点． ①若点M在图象上的B，C两点之间，求的面积的最大值． ②若，求点M的坐标． 9．（山东泰安中考真题）若二次函数的图象与轴分别交于点、，且过点. （1）求二次函数表达式； （2）若点为抛物线上第一象限内的点，且,求点的坐标； （3）在抛物线上（下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由. 10．（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 11．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 12