专题18 二次函数与倍角、半角问题-2023年中考数学重难点题型之二次函数（全国通用）

专题18 二次函数与倍角、半角问题 解题点拨 既有构造相等角的，也有在这个问题上再进行加工的，比如，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角可以单独出现，也可以存在于某个几何图形中，因此，构造半角、二倍角的方法也并不唯一，常用如下： 思路1：构造半角三角函数． 构造二倍角三角函数： 思路2：等腰三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和． 直击中考 1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点． （1）抛物线的解析式为_____________； （2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________． 2．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D为直线AC上方抛物线上一动点， ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______； (2)连接，，，若，求点P的坐标； (3)连接，，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2022秋·山东烟台·九年级校考期末）已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点． (1)抛物线的解析式为___________，抛物线的顶点坐标为___________． (2)如图1，是否存在点P，使四边形的面积为9？若存在，请求出点Р的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接交于点，当时，请直接写出点D的坐标； (4)如图3，点E的坐标为，点C为x轴负半轴上的一点，，连接PE，若，请求出点Р的坐标． 5．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C． (1)当时，直接写出：点B的坐标为______，点C的坐标为______； (2)在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且，求点P到y轴的距离； (3)当时，若的外心在x轴上，求代数式的值． 6．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 ，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 的直线交直线 于点 ． ①当 时，过抛物线上一动点 （不与点 ， 重合），作直线 的平行线交直线 于点 ，若以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标； ②连接 ，当直线 与直线 的夹角等于 的倍时，请直接写出点 的坐标． 7．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，求的最大值； (3)连接，当时，求直线的表达式． 8．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，抛物线（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当＝1：3时，求点F的坐标； (3)如图2，点E的坐标为（0，﹣），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； （3）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限）．当且时，求出点的坐标． 10．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（辽宁锦州