笔记&必记第七章 复数-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版2019)

第七章复数包 第七章复数 7.1复数的概念 1 复数的定义 形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部是a,虚部是b. 2复数的分类 实数(b=0), 复数之=a十bi(a,b∈R) 纯虚数(a=0,且b≠0)， 虚数(b≠0) 非纯虚数(a≠0，且b≠0). 3 复数的有关概念 复数相等 a+bi=c十di台a=c,且b=d(a,b,c,d∈R) 共轭复数 a十bi与c+di共轭台a=c,且b=-d(a,b,c,d∈R) 复数的模 向量OZ的模叫做复数x=a十bi的模，记作|x或a十bi,即|x|=|a+bi=r=√a2+b (r≥0，a,b∈R) 【名师点拨】 复数模的几何意义的应用： (1)之=r(r为常数)，则复数之对应的点在以坐标原点为圆心，以r为半径的圆上； (2)r≤之≤R(r,R为常数)，则复数之对应的点在以坐标原点为圆心，以r和R为 半径的两个圆构成的圆环区域内. 4 复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外， 实轴、虚轴 虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示复数=4十i一对鸣复平面内的点Zab) 一 对应 平面向量O乙 例7一1一1：已知复数=m(m一1)十(m2十2m一3)i,当实数m取什么值时， (1)复数之是零； (2)复数之是实数； (3)复数之是纯虚数 m(m-1)=0, 解：(1)若复数义是零，则 m2+2m-3=0, 解得m=1,即当m=1时，复数之是零. (2)若复数之是实数，则m2十2m一3=0， 解得m=1或m=-3, 数学· 11 ☑笔记&必记 即当m=1或m=一3时，复数之是实数. [m(m-1)=0, (3)若复数之是纯虚数，则 m2+2m-3≠0， 解得m=0, 即当m=0时，复数之是纯虚数. 例7-1-2：若复数之1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,2=4m-2十(m2-5m)i,m为实 数，且之1>x2,求实数m的取值集合 (m3+3m2+2m=0, 解：.1>x2,.{m2-5m=0, 解得m=0, m2+1>4m-2, .实数m的取值集合为{0}. 例7一1一3：设复数z=x十yi(x,y∈R),则满足3<之≤4的复数之在复平面内对 应的点Z(x,y)构成的平面图形的面积为 解析：在复平面内W3<x≤4的几何意义为复数之对应的动点Z到坐标原点的距离大 于3，不大于4，因此动点Z(x,y)构成的图形是由圆心为坐标原点，半径分别为√3和4的两个 同心圆构成的圆环（不包含半径为√3的圆的边界），故其面积为π·4一π·(3)2=13π 答案：13π 7.2复数的四则运算 1复数的运算法则 设1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R),则 (1)z1+2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)1-2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3).=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; （4=atbi-Ca+bc-n-ac+bd+bc-adi(c十di≠0. z2 c+di (c+di)(c-di)c2+d2 c2+d2 【温馨提示】 实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立，实数的移项法则在复数中仍然成立； 可以推广到多个复数进行加、减运算. 2复数加法运算的几何意义 (1)如果两个复数对应的向量在同一条直线上，我们可以画出一个被“压扁”的平行 四边形，也就是一条直线，平移OZ,,使OZ的起点与OZ的终点重合，就得到对角线OZ, OZ对应的复数就表示复数之1与复数2的和. (2)复数加法的三角形法则： Z2(c,d) 三角形法则：从图中可以看出OZ。=Z乙，由同一向量表示同一复数 可知，向量Z1Z对应的复数为c+di(c,d∈R),故在△OZ1Z中，由向量的 Z(a.b) 0 12 ·数学 第七章复数 加法可知，OZ=OZ+ZZ,即OZ为两复数a+bi(a,b∈R)与c十di(c,d∈R)对应向量的 和向量，故称为三角形法则. 【拓展延伸】 常用复数运算结论： a1士i=士2：1+i1-》=2-i-2号告i-i 十号则心=}于是布 (2)记w=一1+3， ①w2=w,w=w;②w=|w2|=1;③1+w十w2=0. 例7-2-1：计算：(1)(1+2i)十(3-4i)-(5+6i); (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 解析：(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i. (2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i. (3)(a+bi)-(2a-3b