笔记&必记 第九章 解三角形-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册(人教B版2019)

______第九章解三角形 第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 、正弦定理、余弦定理及其变式 设△ABC的三边为a，b.e，所对的三个角为A，B，C，其面积为S （1)S=2ah(h为BC边上的高)。 （2)S=2absin C=_2^bcsin A=_2^asnB。 （3)S=2R^2sn Asin BsinC(R为△ABC的外接圆半径)。 (4)S=aR(R为△ABC的外接圆半径)。 5s-\sqrt{p}=φ-5φ-σ(=_2a+h+o)- 数学，1 笔记&必记_____ 三、解三角形的类型 1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，也可用余弦定理。用正弦定理时有解的情况可分为 以下几种。在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： 【名师点拔】 A为锐角时，a≤bsinA无解；A为钝角或直角时，a=b，a≤b均无解。用余弦定理时，可列出 关于第三边的一元二次方程，在△ABC中，已知a，b和角A.则根据余弦定理c^2+b^2-2bc·cosA=a 即c^2-2bxosA·c+b-a^2=0，然后讨论关于c的一元二次方程根的情况。 3.已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解． 4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解． 例1：在△ABC中，角A，B.C所对的边分别是a.b.c且^A⊥CaxBsmC （1)证明：sinAsin B=sinC； （2)若b+e^2-a^2=÷bc，求tan B。 分析：(1)利用正弦定理变形—→将已知等式通分— 利用两角和的正弦公式及三角形内角和定理整理即可 （2)利用余弦定理求出cosA→求出sinA→利用(1)的结论求出tanB （1)证明：根据正弦定理，可设一nA～mB=snc=k(k>0)，则 a=ksin A.b=ksin B.c=ksin C。 代入CSA+cosB_simC中，有 cos A⊥cos B=sinC。 ksinA-ksin B-ksinC 变形可得sin AsinB=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)。 在△ABC中，由A+B+C=π，知sin(A+B)=sin(π-C)=sinC， 所以sinAsin B=sin C。 2﹒数学 第九章解三角形 (2解：由已知，b+e2--c, 根据余孩定理，有coA=b十c-a=3 2bc 5 4 所以sinA=√1-cos2A= 5 由(1)知，sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以年sinB=5cosB+ 4 5 sin B. 故tanB=sinB cos B =4. 【归纳总结】 正、余弦定理在解三角形中常用边角互化的技巧；若要把“边”化为“角”，常利用“=2 Rsin A, b=2RnB.e=2 Rsin C,若要把角”化为边”，常利月mA-录imB=录inC-束osC b =a+b2-c 2ab ”等 四、 利用正余弦定理判断三角形的形状 例2：△ABC满足sinB=cos Asin C,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析：.sinB=cos Asin C, b=b+e-a 2bc ·c. .b2+a2=c2 △ABC为直角三角形，选A. 答案：A 例3：在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)· sin C. (1)求A的大小； (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状. 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a=(2b十c)b十(2c+b)c,即a=b2+c2+bc.① 由余孩定理得a=b+e2-2bcsA,故casA=-号A=120。 (2)由①得，sin'A=sinB+san'C+-sin Bsin C.又sinB+sinC=1,故imB=simC=) 21 因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B=C.所以△ABC是等腰钝角三角形. 【归纳总结】 1.要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与 “等腰三角形或直角三角形”的区别，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有以下两条途径： 数学· 3 笔记&必记_____ （1)通过正弦定理、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行 判断； （2)利用正弦定理，余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。 2.(1)在△ABC中有如下结论：sinA>sin B⇔a>b。 （2)当b^z+c^2-a^2≥0时，角A为锐角，若可判定其他两