笔记&必记 第十章 复数-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册(人教B版2019)

______第十章复数 第十章_复数 10.1-复数及其几何意义 、复数的有关概念 二、复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的． 复数x=a+bi←—一对应，复平面内的点Z(a，b) 平面向量Oz 其中，a，b∈R。 【归纳总结】 1.解决复数有关问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的 关键． 2.复数相等问题一般通过实部与虚部分别对应相等列出方程或方程组求解． 3.只要把复数α=a＋bi(a，b∈R)与向量O2对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复 数的模，加法，减法的几何意义，并根据几何意义解决问题． 例1：若a，b∈R。则不等式一2＋a-(b-a)i>-5-b+(a+2b-6)i成立的条件是() A.a>-5且b=2B.a=b=2 C.b>-5且a=2D.a≥-5且b≥-5 数学·9ⅵ ☑笔记&必记 b-a=0, a=2, 解析：根据复数的性质可知a十2b-6=0, → b=2. -2+a>-5-b, 答案：B 例2：已知集合A={1,22,xi},B={2,4},i为虚数单位，若A∩B={2},则纯虚数之为() A.i B.-i C.2i D.-2i 解析：A={1,2x2,zi},B={2,4},且A∩B={2},.22=2或zi=2,解得之=士1（舍去） 或之=一2i此时2x2=一8≠4，满足A∩B={2},则纯虚数之为一2i,故选D. 答案：D 10.2 复数的运算 一、 复数的加、减、乘、除运算洁则 设1=a+bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法：之1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a十c)+(b+d)i: (2)减法：1-2=(a十bi)-(c十di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法：x1·x2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法： a+bi_(a+bi)(c-di)_actbd+(be-ad)i(c+di0). z2 c+di (c+di)(c-di) c2+d 二、复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何之1，之2，之∈C,有之1十之2=2十之1，(1十2)十3 =1十(x2十3) 【归纳总结】 1.复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位1的看作一类同类项，不 含ⅰ的看作另一类同类项，分别合并即可 2.复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把ⅰ的幂写成 最简形式. 3.常用结论 (1)i”=1,im+1=i,in+2=-1,i4n+3=-i,n∈N. (2)(1±i)2=±2i,(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). 【误区警示】 不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若1，之2∈C,十~ =0,则并不能推出之1=之2=0. 例1：已知1-i -=1十i(i为虚数单位)，则复数之=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析：= (1-i)2-2i-2i(1-i) 1+i1+i(1+i)(1-)=-i1-i)=-1-i.故选D. 答案：D 10 ·数学 第十章复数 例2：已知千；=1-bi,其中a6是实数i是虚数单位，则1a-b1=(） A.3 B.2 C.5 D.5 解析：由1十=1-bi可得a=1十b+(1-b)i, a=1+b, 所以 解得 a=2, 1-b=0, b=1, 所以|a-bi=|2-i=√/22+(-1)2=5，故选D. 答案：D 例3：已知复数满足(1十√3i)之=√3i,则~=( A多+ R-受 33」 D.4-4 v3i 解析：方法一 由已知得之= 31(1-3i)=3十8i=3+31.故选C. 1+3i(1+3i)(1-√5i) 4 4 4 方法二设之=a十bi,a,b∈R,则由(1十√3i)x=√3i可得(1十3i)(a十bi)=3i, 4,所以= 即(a-5b)+(3a十b)i=v3i,所以a-3b=03a十b=B,即a=3,b=3,所 4 +C. 答案：C *10.3复数的三角形式及其运算 复数的三角形式 若非零复数之=a十bi=r(cos0十isin0),则r(cos0+isin0)称为复数x的三角形式.a十bi 称为复数x的代数形式.其中的0为之的辐角. 【温馨提示】 显然，任何一个非零复数之的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数 倍，特别地，在[0,2π)内的辐角称为之的辐角主值，记作arg之. 复数三角形式的乘除法 设之1=r1(cos01+isin0), z2=r2(cos 02Hisin 02). z1z2=r1r2[