笔记&必记第七章 三角函数-【志鸿优化训练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册(人教B版2019)

第七章三角函数 第七章三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 知识对标 1.角的概念的推广 条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和 终边 2.角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： (1)正角：按照逆时针方向旋转而成的角； (2)负角：按照顺时针方向旋转而成的角； (3)零角：当射线没有旋转时，我们把它看成一个角，称为零角. 3.象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时角的终边在第几象限，就把这 个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 4.终边相同的角 一般地，角a十k·360°(k∈Z)与角α的终边相同，这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针 方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍.因此所有与α终边 相同的角组成一个集合，这个集合可记为S={33=α十k·360°，k∈Z}. 5.度量角的单位制 (1)角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位度量角的制度称 为角度制， (2)弧度制 我们称弧长与半径比值的常数为圆心角的弧度数.因此，长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角为1弧度的角，记作1rd.这样规定出来的弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来 度量角的制度称为弧度制. 6,角度与弧度的互化 (1)角度制与弧度制的互化（换算） 数学· ☑笔记&必记 180°=元rad; 1°= 7π 180 rad≈0.01745rad: 1 rad=( (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 1209 135 150° 180° 225° 270° 315° 360 2π 3π 弧度 5元 5元 0 6 3 2 4 2π 3 6 (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个正实数；任一负角的弧度数都是一个负实数；零角的弧度数是0. 7.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r,弧长为l,a为其圆心角，则 度量单位 a为角的度数 a为角的弧度数 类别 扇形的弧长 l=arr 180 l=ar 1 扇形的面积 S= 360 2 规律方法 1.角的概念判断：解决此类问题的关键在于正确理解有关角的概念，还需要掌握判断命题真 假的技巧，判断命题为真时需要证明，而判断命题为假时只需举出反例即可. 2.终边相同的角相差360的整数倍.判定一个角在第几象限，只要在0°360°范围内找与它 终边相同的角，即把这个角3写成3=a+k×360°(0°≤α<360)(k∈Z)的形式，判断角α是第几 象限角即可. 3.终边落在坐标轴上的角不是象限角.一般地，当角的终边在某具体位置时，先找到终边在此 位置的一个角α，再用β=α十k×360°表示后写成集合；当终边在某个范围时，先写出终边在边界 位置的角，再用不等式表示此范围内的角，最后用集合表示. 4.将角度制化为弧度制：当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利 用1-0rd化为弧度即可。 5.以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数. 6.用弧度制表示角的集合时应注意： (1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数： ·数学 第七章三角函数 (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0,2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位. 7.涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是先弄清题目中已知哪些量求哪些 量，再灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决. 8.解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想 三分类典例赏折 类型。任意角 命题角度1：任意角的概念 【例7一1一1】下列命题正确的是( A.终边与始边重合的角是零角 B.终边和始边都相同的两个角一定相等 C.在90°≤3<180范围内的角B不一定是钝角 D.小于90°的角是锐角 【解析】终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A不符合题意；终边和始边都相同的 两个角可能相差360°的整数倍，如30°与一330°，故B不符合题意；由于在90°≤8<180°范围内的 角3包含90°角，所以不一定是钝角，C符合题意；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D不符 合题意 【答案】C 【方法归纳】 理解与角的概念有关问题的关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念， 弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断命题正确与否的技巧：判断命题正确 时需要证明，而判断命题不正确时只需举出一个反例即可. 命题角度2：终边相同的角的表示 【例7一1一2】写出与75°角终