第七章 随机变量及其分布 章末复习方案（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

章末复习方案 类型一　条件概率与全概率公式 1．条件概率的两种求法 (1)P(B|A)＝＝； (2)条件概率的加法公式：如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”的解题策略． 【真题呈现】 1．设验血诊断某种疾病的误诊率为5%，即若用A表示验血阳性，B表示受验者患病，则P(|B)＝P(A|)＝5%.若受检人群中仅有0.5%患此病，即P(B)＝0.005，则一个验血阳性的人确患此病的概率为________(结果保留三位小数)． 解析　由题意得P(B|A) ＝ ＝≈0.087. 答案　0.087 2．某学生的手机掉了，落在宿舍中的概率为60%，在这种情况下找到的概率为98%；落在教室里的概率为25%，在这种情况下找到的概率为50%；落在路上的概率为15%，在这种情况下找到的概率为20%. (1)求该学生找到手机的概率； (2)在找到的条件下，求手机在宿舍中找到的概率． 解析　设“手机落在宿舍”为事件B1，“手机落在教室”为事件B2，“手机落在路上”为事件B3，“找到手机”为事件A，则Ω＝B1∪B2∪B3， (1)P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝98%×60%＋50%×25%＋20%×15%＝0.743. (2)P(B1|A)＝＝ ＝≈0.791. 类型二　离散型随机变量的分布列、均值与方差 求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下几个步骤： 【真题呈现】 3．(2020·全国Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4，且Pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　) A．P1＝P4＝0.1，P2＝P3＝0.4 B．P1＝P4＝0.4，P2＝P3＝0.1 C．P1＝P4＝0.2，P2＝P3＝0.3 D．P1＝P4＝0.3，P2＝P3＝0.2 答案　B 解析　A项，E(X)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，所以D(X)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；B项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.85；C项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.05；D项，E(X)＝2.5，D(X)＝1.45.故选B项． 4．(2022·全国甲)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 解析　(1)设“甲学校在三个项目中获胜”分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.8，由题意可知，甲学校想要获得冠军，至少要在两个项目中取胜，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(A)·P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()·P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.6. (2)由题意可得，X的可能取值为0,10,20,30，由(1)和题意可得，乙在三个项目中获胜的概率分别为P()＝0.5，P()＝0.6，P()＝0.2，则P(X＝0)＝P(A)·P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()·P(B)P(C)＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44，P(X＝20)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.5×0.6×0.2＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＝0.34，P(X＝30)＝P()P()·P()＝0.5×0.6×0.2＝0.06， 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 数学期望 E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13. 5．(2021·新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否