第六章 计数原理 章末复习方案（Word教师用书）-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教版2019）

章末复习方案 类型一　两个计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用． 【真题呈现】 1．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 解析　因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看成一组，选法有C＝6(种)，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有A＝6(种)，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6×6＝36(种)． 答案　36 2．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案)． 解析　方法一　从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男，有CC＝4(种)选法；②1女2男，有CC＝12(种)选法．故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16(种)． 方法二　从2位女生，4位男生中选3人有C＝20(种)选法，其中选出的3人都是男生的选法有C＝4(种)，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16(种)． 答案　16 类型二　排列与组合 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步． 【真题呈现】 3．(2020·新高考Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 答案　C 解析　第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有C＝6(种)；第二步：安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有C＝10(种)；第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有C＝1(种)．所以共有6×10×1＝60(种)不同的安排方法．故选C项． 4．(2021·全国乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 答案　C 解析　第一步：将5名志愿者分成4组，共有C种分法；第二步：将4组志愿者分配到4个项目，共有A种分配方法．所以共有CA＝240(种)不同的分配方案．故选C项． 5．(2022·新高考Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　先将丙和丁捆绑在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式．由分步乘法计数原理可得，共有AAC＝24(种)排列方式．故选B项． 类型三　二项式定理及应用 二项式定理的考查主要从以下几个方面命题：(1)考查二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(可以考查某一项，也可以考查某一项的系数)；(2)考查各项系数和、各项的二项式系数和；(3)二项式定理的应用．整体难度不大，考查对二项式定理的掌握和灵活运用． 【真题呈现】 6．(2020·北京)在(－2)5的展开式中x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．－10 D．10 答案　C 解析　(－2)5的展开式的通项是Tr＋1＝C·()5－r(－2)r＝(－2)rCx，令＝2，解得r＝1，因此x2的系数为(－2)1C＝－10.故选C项． 7．(2022·新高考Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 解析　因为(x＋y)8＝(x＋y)8－·(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28. 答案　－28 8．(2021·北京)4的展开式中常数项为________. 解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)4－r·r＝(－1)rCx12－4r，令12－4r＝0，解得r＝3，故常数项为(－1)3C＝－4. 答案　－4 9．(2021·浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________. 解析　由二项展开式定理可得，(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1