专题11 二次根式-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题11 二次根式 二次根式知识点是中考数学的主要考查内容之一，常常以客观题的形式进行考查，重点要求熟练掌握二次根式的定义、性质、同类二次根式、最简二次根式和二次根式的运算，二次根式的运算另一种考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母类型的题目是考查的热点。 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 2. 最简二次根式 ①被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 4. 二次根式的性质 1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。 2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。 3．当a≧0时， 5.分母有理化：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若他们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用二次根式的有理化因式： ①与互为有理化因式； ②a＋与a-互为有理化因式； ③＋与-互为有理化因式。 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意； B、，，故一定是二次根式，符合题意； C、，若时，无意义，不合题意； D、是三次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 2．代数式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得且， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组． 3．下列各式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各个选项中的二次根式进行化简，然后再进行判断即可． 【详解】解：A．，故该选项符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握化成最简二次根式的方法，是解题的关键． 4．下列式子中二次根式有（　　） ①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5个， 无意义，不是二次根式； 的根指数为3，不是二次根式； ∵， ∴， ∴不是二次根式； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式； B．与不是同类二次根式； C．与不是同类二次根式； D．与是同类二次根式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化简二次根式是解题的关键． 6．下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可． 【详解】A．的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意； C．，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意； D．不是二次根式，所以选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 7．下面说法正确的是（    ） A．是最简二次根式 B．与是同类二次根式 C．形如的式子是二次根式 D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义即可判断A；根据二次根式的性质即可判断B、D；根据二次根式的定义即可判断C． 【详解】解：A、是最简二次根式，说法正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，说法错误，不符合题意