直线与椭圆的位置关系讲义-2023届高三数学二轮复习

第45讲 椭圆及其与直线的位置关系 一、知识聚焦 1直线与椭圆位置关系的判定 联立椭圆方程和直线方程,消去y整理得关于x的一元二次方程,即Ax2+Bx+C=0(A≠0), .直线与椭圆的位置关系见表451. 2直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆交于,两点,则 (k为直线斜率). 3解决直线与椭圆位置关系问题时的方法 解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、韦达定理(根与系数的关系)、整体代入、设而不求等思想方法. 二、精讲与训练 核心例题1 (1)求过椭圆内一点P(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程. (2)求椭圆上的点到直线l:3x2y16=0的最短距离,并求取得最短距离时椭圆上的点的坐标. (3)已知直线y=kx+4交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,若,求该直线方程. (4)在直线xy+9=0上取一点M,过点M且与椭圆共焦点作椭圆C, 问点M在何处时,椭圆C的长轴最短?并求此时的椭圆方程. 解题策略第(1)问,求符合条件的直线方程,由于直线过点P(1,1),则只需要求出另一个条件,通常求直线的斜率,设所求直线的点斜式方程,则可联立方程组,运用方程理论(韦达定理,中点坐标公式等)求解.第(2)问,与椭圆上的动点有关,故可利用椭圆的参数方程(实质也是三角换元法),把关于x,y的二元函数转化为关于θ的一元函数.将代数问题转化为三角问题处理,从而化繁为简,当然本题也可以用几何方法求出与已知直线平行,又与椭圓相切的直线方程,转化为直线与椭圆的位置关系问题.第(3)问,直线方程与椭圆方程联立消元转化为关于x或y的二次方程,由,可以联想到的二次方程的两根之和形式,从而把关于x和y的二次方程转化为的二次方程,这是整体思想的巧妙应用.第(4)问,显然椭圆的两焦点分别为F1(1,0),F2(1,0),所求椭圆经过点M,并且长轴最短,即|MF1|+|MF2|最小,可通过求F1关于直线xy+9=0的对称点F'1,连接FlF2,F'1F2与直线xy+9=0的交点即为M点,当然也可以运用与已知椭圓共焦点的椭圓系,当M为椭圆系与直线xy+9=0的切点时满足条件,消元后用△=0求得λ的值从而得到所求的椭圓方程,后一解法读者可试着自行探究. 解:(1)设满足题设要求的直线l的方程为. 由方程组,得, 设直线l与椭圆的交点坐标为,,. 由P(1,1)是线段AB的中点,得=2,故=2,解得k=. ∴直线l的方程为x+2y3=0. (2)设椭圆上的任意一点为.则点M到直 线l的距离d= ∴当时,d有最小值. 此时 椭圆到直线的最短距离为此时椭圆上点的坐标为. (3)设,由 整理得 方程两边同除以得由韦达定理知 ,得. 所求直线方程为. (4)已知椭圆焦点分别为,设所求椭圆方程为 关于直线的对称点为如图所示直线与直线的交点即为所求点.直线的方程为, 由解得点的坐标为. 这时. 则,故椭圆方程为. 【变式训练(1)】 已知椭圆上的动点和椭圆内一定点为其右焦点,求的最大值和最小值. 【变式训练(2)】 设是椭圆的左、右焦点,弦过,求的面积的最大值. 【核心例题2】 已知直线与椭圆相交于两点,与轴相交于例题点. (1)若,且,求实数的值. (2)若,求面积的最大值,及此时椭圆的方程. 【解题策略】 第(1)问,直线的凃率确定,直线与椭圆交于两点,则,的长可用弦长公式表示,运用韦达定理使转化为关于的方程,解方程即可求得的值.第(2)问,由求出两点横坐标之间关系并用参数表示,而,进一步表示为的函数,运用基本不等式求的最大值,由此时的值确定参数的值,从而得到椭圆方程. 【解】 (1)设 由得, 判别式 解得 (2)由得, 由条件知点从而 代入得即 显然. 当且仅当取等号.故的面积最大值为,此时椭圆的方程为 变式训练 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为且,点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求以为圆心且与直线相切的圆的方程. 【核心例题3】 已知䧎圆分别为其左、右焦点,直线过点,交椭圆于, 两点. (1)若直线垂直于轴,求. (2)当且点在轴上方时,求两点的坐标. (3)若直线交轴于点,直线交轴于点,则是否存在直线,使得若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 【解题策略】 这是一道探究椭圆与直线位置关系的题目,涉及求弦长、点的坐标以及探究符合条件的直线是否存在等一系列问题,通常解析几何题的计算量一般都比较大,但如果方法得当,能较大减少计算量,比如第问,若设出点的坐标,根据,有,展开后与椭圆方程聅立解之,运算量肯定大;若由,利用勾股定理求解,会相对简洁一些;若能运用椭圆的定义,则运算量更小.第问,已知直线:在轴上的截距,相比将方程设为,方程设为可避免分类讨论,运算量也小,如果能挖掘题中的几何特征,