2023年英国数学奥林匹克第二轮试题

2023英国数学奥林匹克第二轮

1、△ABC中，∠A为钝角，I为内心，⊙(ABI),⊙(ACI)∩ BC=X,Y。AX∩ BI=P,AY ∩CI=Q.求证：B,C,P,Q共圆。

2、对于大于1的正整数n，黑板上依次写着1，2，3，…，n这些数。可以进行以下操作；（1)如若三个相邻的数x，y，z和为3的倍数，则可以将它们替换为y,z,x。（2）如若两个相邻的数x，y差为3的倍数，则可以将它们替换为y,x。

求所有n，使得这一串数可以在有限步操作后变为n，1，2，…，n-1。

3、给定正整数n≥3,求出n元数组A=(a1，a2，…，an）的个数，其

每个ak都为[1，n]中的正整数，且对于任意k，Tk的值是所有n元数组中对于这个表达式可能取到的最小非零值，其中

4、△ABC三边a,b,c为最大公因数为1的正整数，若∠A=3∠B。

求证：a,b，c中至少有一个为完全立方数。