专题6 函数的应用-【学考一号】2023新教材高中数学学业水平复习方略课堂精讲

课堂精讲 学考一号 学业水平复习方略 数学 提纲挈领因 因 1援 方程的根与函数的零点 2援 几类不同增长型函数的模型 3援 函数模型的应用举例 4援 函数的综合应用 考点透析因 因 银 考点概述 1 渊1冤函数零点的概念院对于函数 y=f渊x冤袁人们把使 f渊x冤=0的实数 x叫做函数 y=f渊x冤的零点援 渊2冤方程的根和函数的零点的关系院方程 f渊x冤=0有实根圳函数 y=f渊x冤的图象与 x轴有交点圳 函数 y=f渊x冤有零点援 渊3冤零点存在性定理院如果函数 y=f渊x冤在区间咱a袁b暂上的图象是连续不断的一条曲线袁并且有 f渊a冤窑f渊b冤约0袁那么袁函数 y=f渊x冤在区间渊a袁b冤内有零点袁即存在 c沂渊a袁b冤袁使得 f渊c冤=0袁这个 c 也 就是方程 f渊x冤=0的根援 典例 1 已知函数 f渊x冤= ln x- 1 x 袁x>0袁 x2+2x袁x臆0袁 扇 墒 设设缮设设 则函数 y=f渊f渊x冤+1冤的零点个数是渊 冤 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考查要求 函数零点个数判断 应用级 稍难题 典例 2 设 a袁b沂R袁已知函数 f渊x冤=x2+ 2x姨 -a袁g渊x冤=4x+ x-1姨 +b的零点分别为 x1袁x2袁且 1<x1<x2. 渊1冤若 1<x1<2袁求 a的取值范围. 渊2冤若 a=6袁求证院g渊x冤< 92 x-9. 渊3冤若 a>6袁求证院f渊x2冤+g渊x1冤>0. 考查要求 函数零点综合应用 应用级 难题 专题六 18 典例 3 渊2022年 7月浙江学考袁21冤f渊x冤=ax+x- 2ax 袁a>1袁x>0. 渊1冤若 f渊2冤臆4袁求 a的范围. 渊2冤求证院f渊x冤有唯一零点. 渊3冤若 f渊x0冤=0袁求证院a2-a+2<f渊x0+1冤<2a2-2a+2. 考查要求 函数零点综合应用 应用级 难题 银 考点概述 2 渊1冤常见函数模型的理解 淤一次函数模型院其增长特点是直线上升的渊x的系数 k跃0冤袁通过图象可以很直观地认识它援 于指数函数模型院能用指数函数表达的函数模型袁其增长特点是随着自变量的增大袁函数值 增大的速度越来越快渊a跃1冤袁常称为野指数爆炸冶援 盂对数函数模型院能用对数函数表达的函数模型袁其增长特点是开始阶段增长得较快渊a跃1冤袁 但随着 x的逐渐增大袁其函数值变化越来越慢袁常称为野蜗牛式增长冶援 榆幂函数模型院能用幂函数表达的函数模型袁其增长情况随 xn中 n的取值变化而定袁常见的 有二次函数模型援 渊2冤三种增长型函数之间增长速度的比较 淤指数函数 y=ax渊a跃1冤与幂函数 y=xn渊n跃0冤在区间渊0袁+肄冤上袁无论 a与 n的大小如何袁随着 自变量 x越来越大袁y=ax渊a跃1冤的增长速度会越来越快袁最终会快于 y=xn渊n跃0冤的增长速度袁因此总 存在一个实数 x0袁当 x跃x0时有 ax跃xn渊a跃1袁n跃0冤. 于对数函数 y=logax渊a跃1冤与幂函数 y=xn渊n跃0冤在区间渊0袁+肄冤上袁无论 a与 n的大小如何袁随 着自变量 x越来越大袁y=logax渊a跃1冤的增长速度会越来越慢袁最终会慢于 y=xn渊n跃0冤的增长速度袁 因此总存在一个实数 x0袁当 x跃x0时有 logax约xn渊a跃1袁n跃0冤援 盂由淤于可以归纳出尽管三种增长型的函数均为增函数袁但它们的增长速度各不同袁因此在 渊0袁+肄冤上袁总会存在一个实数 x0袁当 x跃x0时有 ax跃xn跃logax渊a>1袁n跃0冤援 典例 1 向高为 H 的圆锥形漏斗内注入化学溶液渊漏斗下口暂且关闭冤袁注入溶液量 V与 溶液深度 h的图象大致是渊 冤 考查要求 增长型函数的图象特点 理解级 中等题 O V h A B O V h C O V h D O V h 专题六 函数的应用 19 课堂精讲 学考一号 学业水平复习方略 数学 典例 2 设 n沂N*袁f渊n冤=knk袁g渊n冤=2n袁给出下列几种说法院 淤当 k=21时袁由于 f渊7冤约g渊7冤袁所以满足 f渊n冤跃g渊n冤的 n值有 6个曰 于当 k=210时袁由于 k 较大袁所以满足 f渊n冤跃g渊n冤的 n值有无穷多个曰 盂当 k=2100时袁由于 k 很大袁所以满足 f渊n冤约g渊n冤的 n值可能只有有限个曰 榆当 k=21 000时袁由于 k 特别大袁所以满足 f渊n冤约g渊n冤的 n值可能不存在援 其中正确的个数为渊 冤 A援 0 B援 1 C援 2 D援 3 考查要求 幂函数模型与指数函数模型的增长速度对比 理解级 较难题 银 考点概述 3 渊1冤函数实际应用问题的方法和步骤 淤审题院设出未知数 x袁找出量与量的关系曰 于建模院建立函数关系式曰 盂求解院用数学方法解出未知数 x曰 榆回归实际院检验所求