8.1.1向量数量积的概念

8.1.1向量数量积的概念 一、单选题 1．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若的夹角为，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 4．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 6．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是 A．若则存在唯一的实数使得 B．两个非零向量，，若，则与共线且反向 C．已知非零向量，，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，，则为等腰三角形 三、填空题 9．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________． 10．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________． 11．已知向量、，若，，向量在方向上的投影数量的取值范围为____________． 12．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________. 四、解答题 13．已知，且，为非零向量，求. 14．如图，在中，，，.求： （1） ；（2）；（3）. 15．已知，，且和的夹角大小为45°.当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.1向量数量积的概念（解析版） 1．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则不成立，所以选项B不正确；，则选项D正确． 2．若的夹角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】. 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故， 4．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 5．已知四边形是边长为1的正方形，P为对角线上一点，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】作出图形如下图所示，，而此时，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是， 6．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则， 设与的夹角为， 因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且， 所以 7．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，垂心为，重心为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】为垂心，，所以，A正确； 设是中点，则共线，， ，B错误； 由B的推导过程得，C正确； 由得，所以， 所以，即，D正确 8．下列说法正确的是 A．若则存在唯一的实数使得 B．两个非零向量，，若，则与共线且反向 C．已知非零向量，，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在中，，则为等腰三角形 【答案】BD 【详解】若，，就不存在，使得，A错； 若不共线，则一定有．若同向，则，若反向，则，B正确； 非零向量，时，，与夹角为锐角，则，，但要注意若，则与同向，夹角为0，不合题意，因此与夹角为锐角，则实数的取值范围是且，C错； 在中，，则，所以，由正弦定理得，即，，，三角形为等腰三角形，D正确． 9．已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________． 【答案】2 【详