上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.不等式组的解集为_______. 2.已知，则_______.3.关于的实系数一元二次方程的一根为，则_______. 4.函数的定义域为，则实数的值为_______. 5.已知是实常数，若，则的取值范围是_______. 6.已知正实数满足，则的最小值为_______. 7.若，且，则_______. 8.设是等差数列的前项和，若，则_______. 9.设数列满足，且，则数列前项的和为_______. 10.己知一个由五个实数组成的集合，的所有非空子集的元素和的总和等于，则的五个元素之和等于_______. 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号. 为了纪念高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：, 已知, 则函数的值域为_______. 12.对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.则方程组解的情况是 （ ） A.唯一解 B. 无解 C. 无穷多解 D. 两解 14.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为， 他与教练的距离，表示与的函数关系的图像大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的 （ ） A.点 B. 点 C. 点 D. 点 15.符合以下性质的函数称为“函数” ①定义域为， ② 是奇函数， ③（常数）， ④在上单调递增， ⑤对任意一个小于的正数，至少存在一个自变量，使.下列四个函数中“函数”的个数为（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16.将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的。我们称为的最佳分解。当（且）是正整数的最佳分解时，定义函数则数列的前项和为 （ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，在直三棱柱中,点分别为的中点，与底面所成的角为. （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点与平面的距离. 18.习近平总书记说过：“我们既要绿水青山，也要金山银山.”新能源汽车环保、节能， 以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展呼存向。工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.上海某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元. （1）每台充电桩第几年开始获利？ （2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大. 19.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示). 已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点. （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）证明：为定值. 20.如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，试写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知具有“性质”，当时，求在上的最大值； （3）若函数同时具有“性质”与“性质”，且当时，，求：当时，函数的解析式，若与交点个数为个，求的值. 21.已知数列都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项）则得到一个新数列. （1）设数列分别为等差、等比数列，若，求； （2）设的首项为，各项为正整数，，若新数列是等差数列，求数列的前项和； （3）设（是不小于的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总等于？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市南洋模范中学2021-2022学年高三上期中 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.