热点3-2 导数的应用-单调性、极值与最值8大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点3-2 导数的应用-单调性、极值与最值10大题型 导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。 一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 二、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 三、函数的最值与极值的关系 1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间的整体而言； 2、在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3、函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4、对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。 【题型1 求函数单调区间或单调性】 【例1】（2021秋·吉林·平市第一高级中学高三四校考）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·吉林·高三辉南县第一中学校考）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·四川达州·统考一模）曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·北京顺义·统考一模）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【题型2 根据函数单调性求参数】 【例2】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考）已知函数在区间单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______． 【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）若对于任意 ，函数在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________． 【变式2-5】（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知函数 （1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 【题型3 导函数与原函数的图象关系】 【例3】（2022·全国·高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）如图为函数（其定义域为）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2005·江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（ ） A． B． C． D．